40 Soru

[geo]

40 Geometri Sorusu
*Sonlardaki sorular daha önce forumda soruldu.

[ERhan ERdoğan]

çözüm-1: http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/ic-teget-r1r2r3r/

[ERhan ERdoğan]

çözüm-2:

[alpercay]

Soru 9. İçerisinde alınan bir noktanın köşelerine uzaklığı 1,4,7,8 olan bir paralelkenarın alanının alabileceği en büyük değer nedir?
 
Çözüm 9. Paralelkenarımız şekildeki gibi olsun.Alan(ABCD) = S = 2(S₁ + S₂) olduğu açıktır.Şimdi APB üçgenini  DP'C  üçgenini oluşturacak şekilde öteleyelim.Bu durumda   S = Alan(PDP'C) olup     S nin en büyük değerini alması demek bu dörtgenin alanının en büyük değerini alması demektir.Kenarları belli olan basit bir dörtgeninin alanı  en  büyük değerini  en genel anlamda  dörtgen kirişler dörtgeni iken alacağından(bakınız  http://geomania.org/forum/geometri-teorem-ve-ispatlar/temel-dortgen-ozellikleri/msg10179/?topicseen#msg10179)  PDP'C  dörtgeni bir kirişler dörtgeni olmalıdır.Kirişler dörtgeninin alanı ise daha önce gösterildiği üzere

                                            S² = (u - a)(u - b)(u - c)(u - d)

 olup veriler yerleştirilince maksimum alan  36 birimkare olarak bulunur.Bu arada paralelkenarın alanının en büyük olması için  P noktasının yerinin <x + <y = 180 derece olacak şekilde seçilmesi gerektiği açıktır.Bu gerekliliği sanırım önceki formumuzda Lokman Bey vurgulamıştı.

[geo]

Soru 9. İçerisinde alınan bir noktanın köşelerine uzaklığı 1,4,7,8 olan bir paralelkenarın alanının alabileceği en büyük değer nedir?
 
Çözüm 9. Paralelkenarımız şekildeki gibi olsun.Alan(ABCD) = S = 2(S₁ + S₂) olduğu açıktır.Şimdi APB üçgenini  DP'C  üçgenini oluşturacak şekilde öteleyelim.Bu durumda   S = Alan(PDP'C) olup     S nin en büyük değerini alması demek bu dörtgenin alanının en büyük değerini alması demektir.Kenarları belli olan basit bir dörtgeninin alanı  en  büyük değerini  en genel anlamda  dörtgen kirişler dörtgeni iken alacağından(bakınız  http://geomania.org/forum/geometri-teorem-ve-ispatlar/temel-dortgen-ozellikleri/msg10179/?topicseen#msg10179)  PDP'C  dörtgeni bir kirişler dörtgeni olmalıdır.Kirişler dörtgeninin alanı ise daha önce gösterildiği üzere

                                            S² = (u - a)(u - b)(u - c)(u - d)

 olup veriler yerleştirilince maksimum alan  36 birimkare olarak bulunur.Bu arada paralelkenarın alanının en büyük olması için  P noktasının yerinin <x + <y = 180 derece olacak şekilde seçilmesi gerektiği açıktır.Bu gerekliliği sanırım önceki formumuzda Lokman Bey vurgulamıştı.

Evet, kenarları belirli herhangi bir dörgende alan en büyük değerini dörtgen kirişler dörtgeni iken alır.
Aslında 1,4,7,8 'in özel bir durumu var.
Sizin şeklinizi,  BAP = DCP' olacak şekilde kuralım. Değişen hiçbir şey yok gibi görünüyor. S₁+S₂ yi maksimize etmek istiyoruz.
S₁+S₂ = Alan(PDP') + Alan(PCP') yi maksimize etmek istiyoruz. Max(Alan(PDP')) = PD.DP'/2 = 4 ve Max(PCP') = PC.CP'/2=14 ve Max(S₁+S₂) = Max(Alan(PDP') + Alan(PCP')) ≤ 18 dir. Neden eşittir yok da küçük eşittir var? PDP' ile PCP' üçgenlerinin teker teker maksimum değerlerini bulduk. Ama ikisi birlikte yani biri 14 iken diğeri 4 olmayabilir. Bunun için ikisi birlikte en fazla teker teker aldıkları maksimum değerlerin toplamına eşit olabilirler. Dedik ya, 1,4,7,8'in özel durumu var. 4²+7² = 1²+8²=65=PP' olduğu için  ∠PCP' = ∠PDP'=90^o açıları birlikte 90^o olabiliyor. Yani iki üçgen de aynı anda maksimum değerlerini alabilirler. Yani Max(S₁+S₂) = Max(Alan(PDP') + Alan(PCP')) =18 ve Max(Alan(ABCD))=36 dır.