7 tane Düzlem{Çözüldü}

[senior]

7 Tane Düzlem bir Uzayı en fazla kaç bölgeye ayırır?

[Lokman Gökçe]

n tane düzlem uzayı (n³ + 5n + 6)/6 bölgeye ayırır. (İspatı indirgemeli diziler dökümanında http://geomania.org/forum/index.php/topic,2567.0.html verildi)

n = 7 için hesaplama yapalım: (7³ + 5.7 + 6)/6 = 64 bölge oluşur.

[senior]

Anlaşılan bunlar aşılmış şeyler Lokman Hocam Dökümanı inceledim

[Lokman Gökçe]

senin farklı bir çözüm yolun olabilir diye aklıma gelmişti. bir de bu sorunun

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3)

biçiminde formülize edilmiş şekli var. Kombinasyonlar toplamı yorumuna nasıl ulaşılmış onu bilmiyorum. Bilen varsa söylesin

Ayrıca n tane doğrunun düzlemi parçalama sayısı da

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2)

ile verilebilir.

[alpercay]

Bu problemden  Steiner'ın "Several laws governing the division of planes and space"(Crelle's Journal,vol.I and Steiner's Complete Works,vol.I) isimli makalesinde bahsedilmiş.Bu bilgi "100 Great Problems of Elementary Mathematics" isimli kitapta mevcut.Kitabın dijitalini bulursam ilgili sayfayı eklerim.Ayrıca bu problemi  The College Mathematics Journal,March 2001   sayısında görüp bir köşeye not almıştım.Orada şöyle bir kombinatorik formül vardı:

V_n=C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3)

Hatta bu, n boyutlu uzaylara genellenmiş:

S_m,n=Top(i=0 dan m ye) C(n,i)

Birçok yayında yanlış formül kullanılması sonucu yanıtı yanlış olan sorular mevcut.Örneğin Çözüm Dergisi'nin bazı testleri ve Uğur Geometri Konu Anlatımlı kitabında(eski baskılardan biriydi) buna rastladık.

[alpercay]

The College Mathematics Journal daki ilgili makaleyi ekleyelim.Burada kombinatorik yorum da verilmiş.Birisi çevirirse iyi olur.

[alpercay]

100 Great Problems Of Elementary Mathematics - Their History and Solution - Heinrich Dorrie yazarak nette aratırsanız kitaba ulaşabilirsiniz.Bahsi geçen konu Steiner's Division of Space by Planes başlığında anlatılıyor.