Düzlemde 5 nokta{Çözüldü}

[alpaslankaynar]

Bir düzleme 5 nokta, bu doğruları birleştiren hiçbir doğru birbirine dik veya paralel olmayacak şekilde yerleştiriliyor.
Her noktadan bu doğrulara çizilen dikler kaç noktada kesişirler?

[senior]

Dik doğru parçaları mı yoksa diklerin uzatılmış doğruları mı kaç noktada kesişirler?

[Lokman Gökçe]

Bu soru tübitak 1994 de 1. aşamada sorulmuştu. Yalnız sorunun ifadesi hatalı aktarılmış. Orijinali şöyledir:

A, B, C, D ve E düzlemde 5 nokta olsun. Bu noktaları birleştiren doğrulardan hiçbiri bir başkasına dik ya da paralel olmasın. Bu 5 noktanın her birinden, geri kalan 4 noktayı birleştiren doğrulara dikler çizelim. Bu dikler birbirleriyle A, B, C, D, E dışında toplam olarak en fazla kaç değişik noktada kesişebilirler?

A) 300     B) 310     C) 320     D) 330     E) 360

[Lokman Gökçe]

A noktasını alalım. B, C, D, E den geçen doğru sayısı C(4,2) = 6 dır. A noktasından bu doğrulara (her birine birer tane olarak) toplam 6 dik çizilir. Bu 6 dikmeyi l₁, ... , l₆ ile gösterelim. Aynı işlemler B, C, D, E için de yapılırsa 5.6 = 30 dikme oluşur. Bunlar da C(30,2) = 435 noktada kesişir. Fakat l₁, ... , l₆ doğrularının hepsi A da kesişiyor. C(6,2) = 15 istenmeyen nokta var. B, C, D, E için de benzer işlemle 5.15 = 75 istenmeyen nokta var. O halde 435 - 75 = 360 nokta elde edilir.