Birinci torbadaki toplar siyah, ikincidekiler beyaz olsun. Birkaç seçilimden sonra 1.kutuda m adet beyaz var ise, 2. kutuda da m adet beyaz olmak zorunda. Yani kuralı bozan top sayısı iki torbada da aynı olmalı. P(i, j) i. seçilimde torbaların birinde j adet farklı top olma olasılığı olsun. Bu durumda bulmak istediğimiz olasılık P(4, 0) tür.
4.adımda hiçbir kutuda farklı renk top olmaması için, 3.adımda kutularda 1 er adet farklı renk top olmalı ve 4.adımda 1/n2 ihtimal ile iki torbadan da farklı renkleri seçmeliyiz.
P(4, 0) = P(3, 1) / n2
Diğer olasılıkları da şöyle yazabiliriz:
P(3, 1) = P(2, 0) + 2(n-1)/n2 P(2, 1) + 4/n2 P(2, 2)
- 2.adımda hiç farklı top olmayabilir, zaten ne yaparsak yapalım P(3, 1) ile sonuçlanır
- 2.adımda 1 farklı top olsa, torbaların birinden farklı olanı birinden de çoğunlukta olanı seçebiliriz. Olasılığı (n-1)/n * 1/n, iki torba için 2 ile çarpılır.
- 2.adımda 2 şer farklı top olsa, iki torbadan da 2/n er olasıkla farklı olan topları seçip P(3, 1) durumuna geçebirliz.
P(2, 0) = P(1, 1) / n2
- 2.adımda hiç farklı top olmaması için 1.adımda 1 er farklı top olmalı ve bunları seçmeliyiz.
P(2, 1) = 2(n-1)/n2 P(1, 1)
- 2.adımda 1 farklı top olması için 1.adımda 1 farklı olması lazım, burda P(3, 1) de yazdığımız 2.durum gibi olasılık çıkar.
- 1.adımda hiç farklı top olmaması da aslında P(2, 1) ile sonuçlanır ama bu durum mümkün değil.
P(2, 2) = (n-1)2 / n2 P(1, 1)
- Burda kesinlikle 1.adımda 1 farklı top olmalı ve iki torbadan da çoğunluktan top seçmeliyiz, yani (n-1)/n * (n-1)/n
P(1, 1) = 1
- İlk seçilimden sonra kesinlikle tobalarda 1 er farklı top bulunur.
Yerine koyarak gidersek P(4, 0) = 1/n4 + 8(n-1)2/n6
