tanA + tan B = tanC {çözüldü}

[Beyşehirli]

Dar açılı bir ABC üçgeninde [AD] ve [CE] yüksekliktir. AD ile CE nin kesişim noktası F olsun. tanA + tanB = tan C ise EF / FC nedir?


Edit: Hoşgeldiniz... aradığımızı daha kolay bulabilmek için konu başlıklarımızı sorunun içeriği ile ilgili seçmeye özen gösterelim lütfen. iyi çalışmalar dileriz (scarface)

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Öncelikle verilen tanA + tanB = tanC eşitliğini düzenlersek sinA/cosA + sinB/cosB = sinC/cosC olup buradan

sinA.sinB = 2.cosA.cosB ... (1)

eşitliğine ulaşırız. AEC dik üçgeninde AE/AC = cosA olduğunu da kullanarak

FC/EF = A(ACF)/A(AEF) = [1/2.AC.AF.sin(90 - C)]/[1/2.AE.AF.sin(90 - B)] = cosC/(cosA.cosB) ... 2

buluruz. (1) ve (2) den

FC/EF = -cos(A + B)/cosA.cosB = (-cosA.cosB + sinA.sinB)/cosA.cosB = (-cosA.cosB/cosA.cosB) + (2.cosA.cosB/cosA.cosB) = -1 + 2 = 1

sonucuna ulaşırız. Yani EF = FC dir.

[Beyşehirli]

Teşekkür ederim. Benim çözümüm de şöyleydi: A + B + C = 180 => tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC formülü kullanılarak tanA . tanB = 2 elde edilir. m(B) = m(AFE) olduğu için
tanA . tanB = tanA . tan(AFE) = (EC / AE) x (AE / EF) = EC / EF = 2 => EF = FC elde edilir.