2006 MOSP{çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Zuming Feng'in 2006 MOSP Homework isimli çalışmasından geometri problemleri... Soruların orjinali, ektedir.

1- ABC dar açılı bir üçgendir.B ve C nin, AC ve AB ye göre simetrileri sırasıyla B', C' noktalarıdır. ABB' ve ACC' üçgenlerinin çevrel çemberleri A ve P noktalarında kesişsin.İspatlayınız ki PA doğrusu, ABC nin çevrel çemberinin merkezinden geçer.

2- ABC, <A = 90^o olan bir dik üçgendir. D noktası BC üzerinde bulunuyor öyle ki: <BAD = <CAD. Üçgenin A noktasına göre dış teğet çemberinin merkezi I_a ise AD/DI_a < 2^1/2 - 1 dir.

3- ABC üçgeninde <BAC = 120^o dir. A, B, C nin açıortayları karşılarındaki kenarları sırasıyla D, E, F de kesiyor. İspatlayınız ki EF çaplı çember, D noktasından geçer.

4- ABC üçgeninin içinden P ve Q noktaları alınıyor öyle ki <ACP = <BCQ ve <CAP = <BAQ. P den; BC, AC, AB kenarlarına inen dikme ayaklarını D, E, F ile gösterelim. İspatlayınız ki: <DEF = 90 ise Q noktası, BDF üçgeninin diklik merkezidir.

[Mathopia]

3. soru için, <EDF nin 90 olduğunu göstermek yeterlidir.Bu da http://www.geomania.org/index.php?topic=161.msg598#msg598 linkinden görülebilir

[Lokman Gökçe]

birinci sorunun çözümü:

[Lokman Gökçe]

2.sorunun çözümü:

[Lokman Gökçe]

4.sorunun çözümü: <ABQ = <CBP olduğunu göstererek başlayacağız. P ve Q noktalarının izogonal eşlenik olduğu kullanılarak da <ABQ = <CBP olduğu söylenilebilir ama bu yardımcı teoreme ihtiyaç duymadan, doğrudan trigonometrik metod kullanarak sonuca gideceğiz...

[Lokman Gökçe]

4.sorunun çözümü (part 2):

[Lokman Gökçe]

2005 MOSP sorularından sonra, tekrar 2006 sorularına göz atarken farkettim.

ne istediğini pek çözemediğim bir problem daha vardı. tercümesini yapabilecek bir arkadaşımız çıkarsa daha sonra birlikte çözüm üzerinde düşünebiliriz. iyi çalışmalar...

Problem: Show that among the vertices of any area 1 convex polygon with n > 3 sides there exist four such that the quadrilateral formed by these four has area at least 1/2.

[proble_m]

Sorunun tercümesi:
Kenar sayısı 3 ten fazla ve alanı 1 br² olan bir konveks çokgenin köşelerinden herhangi 4 nü köşe kabul eden ve alanı en az 1/2 br² olan bir dörtgen olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Soru 5: Kenar sayısı üçten fazla ve alanı $1 \text{ br}^2$ olan bir dışbükey çokgenin köşelerinden herhangi dördünü köşe kabul eden ve alanı en az $\dfrac{1}{2}  \text{ br}^2$ olan bir dörtgen olduğunu gösteriniz.

Problemin, en büyük değer-en küçük değer ilkesi kullanılarak yapılan güzel bir çözümü vardır.

Çözüm: Dışbükey çokgenin birbirine en uzak iki köşesi $A$ ve $B$ olsun. Önce, $[AB]$ nin bir köşegen olduğunu varsayalım. $AB$ doğrusunun farklı taraflarında kalan diğer köşelerden $AB$ doğrusuna inen dikmelerden en uzun olan ikisi $C$, $D$ köşelerinden inen dikmeler olsun. $C$ den geçen $AB$ ye paralel olan doğruyu çizelim. Bu şekilde bir kenarı $[AB]$ olan, $AB$ ye paralel olan diğer kenarı $C$ den geçen dikdörtgeni oluşturalım. $ACB$ üçgeninin alanı, bu dikdörtgenin alanının yarısıdır. Yine $D$ den geçen ve $AB$ ye paralel olan doğruyu çizelim. Bir kenarı $[AB]$ olan, $AB$ ye paralel olan diğer kenarı $D$ den geçen dikdörtgeni oluşturalım. $ABD$ üçgeninin alanı, bu dikdörtgenin alanının yarısıdır. Böylece, $ACBD$ dörtgeni, dışbükey çokgenin alanının en az yarıdır.

En uzak iki nokta $A, B$ olmak üzere $[AB]$ bir kenar olsun. Bu durumda, $AB$ ye en uzak olan $C$ köşesini seçelim. $D$ köşesini de geriye kalan köşelerden biri olarak rastgele seçebiliriz. Bir kenarı $[AB]$ olan, $AB$ ye paralel olan diğer kenarı $C$ den geçen dikdörtgeni oluşturalım.  $ACB$ üçgeninin alanı, bu dikdörtgenin alanının yarısıdır. Böylece, $ABC$ üçgeninin alanı dışbükey çokgenin alanının en az yarısıdır. Dolayısıyla $ABCD$ dörtgeninin alanı, dışbükey çokgenin alanının en az yarısıdır.


Kaynak: AoPS

[Lokman Gökçe]

Soru 2 için 2. Çözüm:

Yine $I_a$ noktasından $AB$, $AC$, $BC$ doğrularına inen dikme ayaklarını sırasıyla $K, L, G$ ile gösterelim. $I_a$ merkezli dış teğet çemberin yarıçapı $R$ olsun. $AKI_aL$ karesinin bir kenar uzunluğu $R$ dir. $\dfrac{|AD|}{|I_aD|}\leq \sqrt{2} - 1$ olduğunu göstermek için $\dfrac{|AI_a|}{|I_aD|}\leq \sqrt{2} $ olduğunu göstermek gerekli ve yeterlidir. Öte yandan $|AI_a|=R\sqrt{2}$ ve $|I_aD| \geq |I_aG| = R$ olup $\dfrac{|AI_a|}{|I_aD|} \leq \dfrac{R\sqrt{2}}{R}=\sqrt{2}$ elde edilir. Eşitlik durumu $D=G$ çakışması olduğunda sağlanır. Bu ise, $ABC$ dik üçgeninin $|AB|=|AC|$ biçiminde ikizkenar olması demektir.