Düzlemdeki Noktalar{Çözüldü}

[senior]

Analitik düzlemde x ve y koordinatları tamsayı olan herhangi 5 adet nokta seçiliyor. Bu 5 noktadan en az bir çiftin orta noktasının da x ve y koordinatlarının tamsayı değerli olduğunu gösteriniz.

[semihyagci]

Bu soru bence teklik-çiftlik ile alakalı. Ve dolayısıyla noktalar
teklik-çiftlik ilişkisine göre dört farklı şekilde seçilebilir.
1-)(tek,tek)
2-)(tek,çift)
3-)(çift,tek)
4-)(çift,çift)
Eğer 4 nokta olsaydı hepsini bu şekilde farklı seçerdik ve
herhangi iki noktanın orta noktası tamsayı olmazdı. Çünkü
seçilen iki noktanın koordinatlarının en az birinin toplamı
tek olacağı için orta noktası tamsayı olmaz.Örneğin; (tek+tek,tek+çift).
Ama bir 5. nokta seçersek bulunduğu gruptaki sayı ile
koordinatları toplamı çift olacağı için bu ikilinin orta noktasının
koordinatları tam sayı olur.

[senior]

Tebrikler hocam, soru aynen teklik-çiftlik ile alakalı. Güvercin ilkesi'nin güzel bir örneği. Sorunun birazcık gelişmiş daha halini soralım :
3 boyutlu uzayda ( x,y,z eksenleri ) , tamsayı koordinatlı n noktadan seçilen en az bir ikilinin orta noktası yine tamsayı koordinatlıysa, n en az kaçtır?

[senior]

3D uzay için de olası dağılımlar şöyle olurdu:
1) T, T, T
2) T, T, Ç
...
8 ) Ç,Ç,Ç
Yani 9 noktamız olsa, 8 seçenekten herhangi bir tanesinden 2 örnek olacak ve orta nokta yine tamsayı olacak.