Gönderen Konu: diyophonte denklemi 2 {Çözüldü}  (Okunma sayısı 2750 defa)

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 116
  • Karma: +3/-1
diyophonte denklemi 2 {Çözüldü}
« : Ekim 17, 2008, 10:05:55 ös »
ediz altürk hoca için atıyorum soruyu

a3+b3=c2

denkelmini pozitif sayılarda çözün


kolay bir soru diğerlerine göre biraz daha
« Son Düzenleme: Eylül 05, 2010, 06:21:23 ös Gönderen: senior »

edizalturk

  • Ziyaretçi
Ynt: diyophonte denklemi 2
« Yanıtla #1 : Ekim 18, 2008, 01:10:08 ös »
k pozitif bir tamsayı ise
a=2k2
b=2k2
c=4k3

denklemin çözümleridir.
« Son Düzenleme: Ekim 18, 2008, 02:16:51 ös Gönderen: edizalturk »

edizalturk

  • Ziyaretçi
Yine Diophant
« Yanıtla #2 : Ekim 18, 2008, 01:20:35 ös »
Bir diophant denklem sorusu daha.
« Son Düzenleme: Ekim 18, 2008, 02:17:20 ös Gönderen: edizalturk »

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 116
  • Karma: +3/-1
Ynt: diyophonte denklemi 2
« Yanıtla #3 : Ekim 18, 2008, 09:47:37 ös »
teşekkürler

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: diyophonte denklemi 2
« Yanıtla #4 : Ekim 20, 2008, 01:01:07 öö »
Osman kardeşim başlangıç yolun doğru aslında.

x3 +y3 + z3 = (x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+xz))

özdeşliğini kullanırsak (x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = p olup

ya (x+y+z) = 1 ve (x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = p

veya (x+y+z) = p ve (x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = 1 olmalıdır.

sen ilk durumu incelemişsin ve muhaldir. Buraya kadar doğru bir tesbit yapmışsın. Şimdi de 2. duruma bakalım,

(x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = 1 eşitliğinin her iki yanı da 2 ile çarpılırsa

(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2 olur. Buradan

|x - y| = 1, |y - z |= 1, z - x = 0 gibi bir durum ve bunun permütasyonları elde edilir. x - y = 1, y - z = -1, z = x için x = x, y = x - 1, z = x bulunur. x + y + z = p olacağından 3x - 1 = p ve x = (p + 1)/3 olur. y = (p - 2)/3, z = (p + 1)/3 tür. simetriden dolayı bu üçlünün tüm permütasyonları da çözümdür. tabii bu çözüm için p = 3k + 2 gibi bir asal sayı olmak zorundadır. eğer p = 3k + 1 şeklinde bir asal ise (örn p = 7) bu defa x - y = -1, y - z = 1, z - x = 0 alarak x = x, y = x + 1, z = x bulunur. x + y + z = p olduğundan 3x + 1 = p ve x = (p - 1)/3 tür. y = (p + 2)/3, z = (p - 1)/3 tür. Yine simetriden dolayı bu üçlünün tüm permütasyonları çözüm üçlüsü oluşturur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 116
  • Karma: +3/-1
Ynt: diyophonte denklemi 2
« Yanıtla #5 : Ekim 20, 2008, 02:14:01 öö »
doğru çok aceleciyim ya sağolun

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal