Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 14

[matematikolimpiyati]

Dışbükey bir  $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $O,\ AOB$ üçgeni ve $COD$ üçgeninin alanları sırasıyla $4$ ve $9$ ise bu dörtgenin alanı en az kaç olur?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 27$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$[BOC] = x$ ve $[AOD] = y$ olsun.

$AO/OC = [AOB] / [COD] = [AOD] / [COD] \Longrightarrow xy = 36$.

$AO \geq GO$ dan $x+y \geq 2 \sqrt {xy} = 12$

$[ABCD] = x+y+4+9 \geq 12 + 13 = 25$ olur.

Eşitlik durumu $x=y=6$ iken, yani $AB \parallel CD$ iken sağlanır.