$APC$ çevrel çemberi ile $BP$ ikinci kez $D$ noktasında kesişsin. Soru aşağıdaki hale bürünür.
Problem: $ABCD$ dörtgeninde $\angle BAC = 22^\circ$, $\angle CAD = 48^\circ$, $\angle CBD = 38^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$ ise $\angle BDC = 18^\circ$ olduğunu gösteriniz.
Çizim (Geogebra)$\triangle ABC$ nin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun.
$\angle BOC = 44^\circ$, $\angle AOB = 148^\circ$, $\angle AOC = 168^\circ$ olduğu için $\angle OAC = \angle OCA = 6^\circ$, $\angle BCO = \angle CBO = 68^\circ$, $\angle BAO = \angle ABO = 16^\circ$, $\angle DBO = 30^\circ$ olacaktır.
$\triangle ABD$ nin çevrel çemberinin merkezi $Q$ olsun.
$\angle BQD = 140^\circ$, $\angle AQD = 92^\circ$, $\angle BQA = 128^\circ$ olduğu için $\angle BAQ = \angle ABQ = 26^\circ$, $\angle DBQ = \angle BDQ = 20^\circ$, $\angle ADQ = \angle DAQ = 44^\circ$, $\angle OBQ = \angle OAQ = 10^\circ$ ve $\angle CAQ = 4^\circ$ olacaktır.
$\triangle AQB$ ve $\triangle AOB$ birer ikizkenar üçgen olduğu için $OQ$ bu üçgenlerde açıortay doğrusu olacaktır. $\angle OQA = 64^\circ$ elde edilir.
$\triangle OAQ$ nin çevrel çemberinin merkezi $R$ olsun.
$\angle ORQ = 2\angle OAQ = 20^\circ$, $\angle ORA = 2\angle AQO = 128^\circ$, $\angle AOR = \angle OAR = 26^\circ$, $\angle QAR = \angle AQR = 16^\circ$ olur.
$\triangle ARO \cong \triangle CSO$ ($S$, $OC$ ye göre $B$ ile aynı tarafta) olacak şekilde $S$ noktası alalım. $\angle SOC = \angle SCO = 26^\circ$, $\angle OSC = 128^\circ$.
$\triangle ARQ \cong \triangle DTQ$ ($T$, $QD$ ye göre $A$ ile aynı tarafta) olacak şekilde $T$ noktası alalım. $\angle TDQ = \angle TQD = 16^\circ$, $\angle QTD = 148^\circ$.
$\angle AQD = 92^\circ$ olduğu için $\angle RQT = 60^\circ$ ve $\triangle RQT$ eşkenar olacaktır.
$OUVWS$ düzgün beşgenini ($U$, $\triangle ACD$ içerisinde yer alacak şekilde) kuralım.
$\angle SOU = 108^\circ$, $\angle COU = 128^\circ - 26^\circ = 82^\circ$, $\angle AIR = 26^\circ$, $\angle AOC = 168^\circ$, $\angle ROU = 168^\circ - 82^\circ - 26^\circ = 60^\circ$ olacaktır. $OR = OU$ olduğu için $\triangle ORU$ bir eşkenar üçgendir.
$\triangle QRT$ de bir eşkenar üçgen olduğu için $\angle URT = \angle ORQ = 20^\circ$ dir.
$RU =RT$ olduğu için $RTUY$ eşkenar dörtgenini kurabiliriz. Bu durumda $\angle VUY = 360^\circ - \angle OUV - \angle OUR - \angle RUY = 360^\circ - 108^\circ - 60^\circ - 160^\circ = 32^\circ$ dir.
Ayrıca $\angle YTD = \angle QTD - \angle QTY = 148^\circ - (160^\circ - 60^\circ) = 48^\circ$ dir.
Şimdi de $\triangle TDX$ eşkenar olacak şekilde bir $X$ noktası ($X$ ile $A$, $TD$ ye göre aynı tarafta) alalım.
$\angle TDA = 28^\circ$, $\angle ADX = 60^\circ - 28^\circ = 32^\circ$, $\angle YTX = \angle YTD + \angle DTX = 48^\circ + 60^\circ = 108^\circ$ olacaktır.
$TY=TX$ olduğu için $\triangle YTX \cong \triangle SWV$ ($36^\circ-36^\circ-108^\circ$) olacaktır. Bu durumda $XY = VS$ elde edilir.
$\triangle AQD$, $\triangle ARQ$, $\triangle QTD$ birer ikizkenar üçgen olduğu için $RT \parallel AD$. Aynı zamanda $RTYU$ bir eşkenar dörtgen olduğu için $AD \parallel UY$ dir.
$\angle YUV = \angle XDA = 32^\circ$ ve $VU = XD$ olduğu için $UXDV$ bir paralelkenardır. Yani $UX = VD$.
$\angle UYT = 20^\circ$, $\angle TYX = 36^\circ$, $\angle UYX = 56^\circ$.
$\angle OSC = 128^\circ$, $\angle OSW = 108^\circ$, $\angle CSW = 20^\circ$, $\angle WSV = 36^\circ$, $\angle CSV = 56^\circ$.
$\angle CSV = \angle UYX$, $SC=YU$, $SV = YX$ olduğu için $\triangle YUX \cong SCV$. Buradan da $CV=UX=VD$ elde edilir.
$AD$ doğru parçası üzerinde $DX=DS'$ olacak şekilde $S'$ noktası alalım. $\angle S'DX = \angle VUY = 32^\circ$ olduğu için $S'X = VY$ olur. $S'D \parallel UY$ ve $\angle DS'X = \angle UYV = 74^\circ$ olduğu için $VY \parallel S'X$ olur. Bu durumda $S'XYV$ bir paralelkenar, dolayısıyla $S'V = XY = SV$ olacaktır.
$SC = S'D$, $CV = DV$, $VS = VS'$ olduğu için $\triangle SCV \cong \triangle S'DV$, dolayısıyla da $\angle SCV = \angle S'DV$ olur. $\triangle CVD$ ikizkenar olduğu için $\angle SCD = \angle S'CD$ olur.
$\angle BDC = \alpha$ dersek, $\triangle BCD$ de açıları yazdığımızda $\angle ACD = 68^\circ - \alpha$.
$\angle SCD = 32^\circ + 68^\circ - \alpha = 64^\circ + \alpha \Rightarrow \alpha = 18^\circ$ elde edilir.
Kaynak:
http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/pdf/3circumcenter_d20180609.pdf
