Gönderen Konu: Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8  (Okunma sayısı 323 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8
« : Nisan 03, 2020, 01:27:55 öö »
$\angle ACB = 74^\circ$ ve $\angle ABC = 84^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $P$ noktası $\angle BCP = 10^\circ$ ve $\angle CBP = 38^\circ$ olacak şekilde alınıyor. $\angle CAP = 18^\circ$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:11:13 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı utku_2178

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8
« Yanıtla #1 : Nisan 11, 2020, 11:39:35 ös »
Umarım anlaşılır olmuştur.
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:11:26 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8
« Yanıtla #2 : Nisan 12, 2020, 11:30:13 öö »
Umarım anlaşılır olmuştur.
8. adımda sıkıntı var gibi. P yi hiç kullanmamış gibisiniz.
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:11:40 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı utku_2178

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8
« Yanıtla #3 : Nisan 12, 2020, 01:18:22 ös »
Sanırım 7. adımı yanlış yazmışım. T noktası |MS| ve |AP|'nin kesişim noktası. Hem MRSN hem de RTMA'nın kiriş dörtgen olması için T'nin aynı zamanda |NR| üzerinde olması gerektiği anlaşılıyor. Dolayısı ile P noktası 7. adımda kullanılmış oluyor.

Dikkat edilmesi gereken diğer husus MRSN, m(RMS)=m(RNS)=14 olduğu için, RTMA ise m(ART)+m(AMT)=180 olduğu için kirişler dörtgeni oluyor.
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:11:54 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8
« Yanıtla #4 : Nisan 12, 2020, 01:49:13 ös »
Sanırım 7. adımı yanlış yazmışım. T noktası |MS| ve |AP|'nin kesişim noktası. Hem MRSN hem de RTMA'nın kiriş dörtgen olması için T'nin aynı zamanda |NR| üzerinde olması gerektiği anlaşılıyor. Dolayısı ile P noktası 7. adımda kullanılmış oluyor.

Dikkat edilmesi gereken diğer husus MRSN, m(RMS)=m(RNS)=14 olduğu için, RTMA ise m(ART)+m(AMT)=180 olduğu için kirişler dörtgeni oluyor.
Benim anlayamadığım nokta şu:
T 'yi RM ve SN nin kesişimi olarak düşünün. AT 'yi uzattığımızda P ile çakışması gerekecektir. Ya da diğer bir deyişle bunu ispatlamak gerekiyor. MKP açısını kullanmamışız gibi duruyor.
MKP açısı 38 değil de başka bir şey olsa da sizin çözümünüzdeki adımlar değişmeyecekti.

Kaçırdığım bir nokta var ise aydınlatırsanız sevinirim.

Başka bir arkadaş da çözümü gözden geçirebilir mi?
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:12:03 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 56.8
« Yanıtla #5 : Nisan 18, 2020, 09:21:49 öö »
$APC$ çevrel çemberi ile $BP$ ikinci kez $D$ noktasında kesişsin. Soru aşağıdaki hale bürünür.

Problem: $ABCD$ dörtgeninde $\angle BAC = 22^\circ$, $\angle CAD = 48^\circ$, $\angle CBD = 38^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$ ise $\angle BDC = 18^\circ$ olduğunu gösteriniz.

Çizim (Geogebra)

$\triangle ABC$ nin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun.

$\angle BOC = 44^\circ$, $\angle AOB = 148^\circ$, $\angle AOC = 168^\circ$ olduğu için $\angle OAC = \angle OCA = 6^\circ$, $\angle BCO = \angle CBO = 68^\circ$, $\angle BAO = \angle ABO = 16^\circ$, $\angle DBO = 30^\circ$ olacaktır.

$\triangle ABD$ nin çevrel çemberinin merkezi $Q$ olsun.
$\angle BQD = 140^\circ$, $\angle AQD = 92^\circ$, $\angle BQA = 128^\circ$ olduğu için $\angle BAQ = \angle ABQ = 26^\circ$, $\angle DBQ = \angle BDQ = 20^\circ$, $\angle ADQ = \angle DAQ = 44^\circ$, $\angle OBQ = \angle OAQ = 10^\circ$ ve $\angle CAQ = 4^\circ$ olacaktır.

$\triangle AQB$ ve $\triangle AOB$ birer ikizkenar üçgen olduğu için $OQ$ bu üçgenlerde açıortay doğrusu olacaktır. $\angle OQA = 64^\circ$ elde edilir.

$\triangle OAQ$ nin çevrel çemberinin merkezi $R$ olsun.
$\angle ORQ = 2\angle OAQ = 20^\circ$, $\angle ORA = 2\angle AQO = 128^\circ$, $\angle AOR = \angle OAR = 26^\circ$, $\angle QAR = \angle AQR = 16^\circ$ olur.

$\triangle ARO \cong \triangle CSO$ ($S$, $OC$ ye göre $B$ ile aynı tarafta) olacak şekilde $S$ noktası alalım. $\angle SOC = \angle SCO = 26^\circ$, $\angle OSC = 128^\circ$.

$\triangle ARQ \cong \triangle DTQ$ ($T$, $QD$ ye göre $A$ ile aynı tarafta) olacak şekilde $T$ noktası alalım. $\angle TDQ = \angle TQD = 16^\circ$, $\angle QTD = 148^\circ$.

$\angle AQD = 92^\circ$ olduğu için $\angle RQT = 60^\circ$ ve $\triangle RQT$ eşkenar olacaktır.

$OUVWS$ düzgün beşgenini ($U$, $\triangle ACD$ içerisinde yer alacak şekilde) kuralım.
$\angle SOU = 108^\circ$, $\angle COU = 128^\circ - 26^\circ = 82^\circ$, $\angle AIR = 26^\circ$, $\angle AOC = 168^\circ$, $\angle ROU = 168^\circ - 82^\circ - 26^\circ = 60^\circ$ olacaktır. $OR = OU$ olduğu için $\triangle ORU$ bir eşkenar üçgendir.
$\triangle QRT$ de bir eşkenar üçgen olduğu için $\angle URT = \angle ORQ = 20^\circ$ dir.

$RU =RT$ olduğu için $RTUY$ eşkenar dörtgenini kurabiliriz. Bu durumda $\angle VUY = 360^\circ - \angle OUV - \angle OUR - \angle RUY = 360^\circ - 108^\circ - 60^\circ - 160^\circ = 32^\circ$ dir.
Ayrıca $\angle YTD = \angle QTD - \angle QTY = 148^\circ - (160^\circ - 60^\circ) = 48^\circ$ dir.

Şimdi de $\triangle TDX$ eşkenar olacak şekilde bir $X$ noktası ($X$ ile $A$, $TD$ ye göre aynı tarafta) alalım.

$\angle TDA = 28^\circ$, $\angle ADX = 60^\circ - 28^\circ = 32^\circ$, $\angle YTX = \angle YTD + \angle DTX = 48^\circ + 60^\circ = 108^\circ$ olacaktır.

$TY=TX$ olduğu için $\triangle YTX \cong \triangle SWV$ ($36^\circ-36^\circ-108^\circ$) olacaktır. Bu durumda $XY = VS$ elde edilir.

$\triangle AQD$, $\triangle ARQ$, $\triangle QTD$ birer ikizkenar üçgen olduğu için $RT \parallel AD$. Aynı zamanda $RTYU$ bir eşkenar dörtgen olduğu için $AD \parallel UY$ dir.
$\angle YUV = \angle XDA = 32^\circ$ ve $VU = XD$ olduğu için $UXDV$ bir paralelkenardır. Yani $UX = VD$.

$\angle UYT = 20^\circ$, $\angle TYX = 36^\circ$, $\angle UYX = 56^\circ$.
$\angle OSC = 128^\circ$, $\angle OSW = 108^\circ$, $\angle CSW = 20^\circ$, $\angle WSV = 36^\circ$, $\angle CSV = 56^\circ$.
$\angle CSV = \angle UYX$, $SC=YU$, $SV = YX$ olduğu için $\triangle YUX \cong SCV$. Buradan da $CV=UX=VD$ elde edilir.

$AD$ doğru parçası üzerinde $DX=DS'$ olacak şekilde $S'$ noktası alalım. $\angle S'DX = \angle VUY = 32^\circ$ olduğu için $S'X = VY$ olur. $S'D \parallel UY$ ve $\angle DS'X = \angle UYV = 74^\circ$ olduğu için $VY \parallel S'X$ olur. Bu durumda $S'XYV$ bir paralelkenar, dolayısıyla $S'V = XY = SV$ olacaktır.
$SC = S'D$, $CV = DV$, $VS = VS'$ olduğu için $\triangle SCV \cong \triangle S'DV$, dolayısıyla da $\angle SCV = \angle S'DV$ olur. $\triangle CVD$ ikizkenar olduğu için $\angle SCD = \angle S'CD$ olur.

$\angle BDC = \alpha$ dersek, $\triangle BCD$ de açıları yazdığımızda $\angle ACD = 68^\circ - \alpha$.
$\angle SCD = 32^\circ + 68^\circ - \alpha = 64^\circ + \alpha \Rightarrow \alpha = 18^\circ$ elde edilir.



Kaynak:
http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/pdf/3circumcenter_d20180609.pdf
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:12:15 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal