$\displaystyle \sum_{n=1}^{2015}n^22^n$ ifadesinin $23$ ile bölümünden kalan

[MATSEVER 27]

$\displaystyle  \sum_{n=1}^{2015}n^22^n$ ifadesinin $23$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}$ $5$   $\qquad$  $\textbf{b)}$ $12$  $\qquad$  $\textbf{c)}$ $17$  $\qquad$  $\textbf{d)}$ $22$  $\qquad$  $\textbf{e)}$ $\text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed A$

Öncelikle her $n\in \mathbb{Z}$ için $ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=(n^2-2n+3)2^{n+1}-6$ olduğunu gösterelim. $n=1$ için doğrudur.$n=m$ için doğru kabul edip $n=m+1$ için ispatlayalım.

$ \sum_{k=1}^{m+1}k^22^k=(m^2-2m+3)2^{m+1}-6+(m+1)^22^{m+1}=((m+1)^2-2(m+1)+3)2^{m+2}-6$ olduğu görülebilir. Dolayısıyla ifade tümevarımdan doğrudur.

$$\sum_{n=1}^{2015}n^22^n=(2015^2-4027)2^{2016}-6$$ olur. $$(2015^2-4027)2^{2016}-6\equiv (14^2-2)\cdot 8-6\equiv 5 (mod~23)$$