Tamamen Asal Sayı

[MATSEVER 27]

Basamaklarının yeri nasıl değişirse değişsin yine asal olan sayıya $tamamen$ $asal$ $sayı$ diyelim. Bir $tamamen$ $asal$ $sayının$ en fazla kaç farklı rakamı olabileceğini belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

Sorunun ifadesinde tamamen asal sayının da farklı rakamlardan oluşacağı bilgisi verilmeli. Aksi halde $abcdd$ gibi (örneğin $13799$ asalı) bir asal sayı için $\dfrac{5!}{2!}=60$ farklı sayıyı denememiz gerekecektir. Tabii daha kötüsü de olabilir: $abccdd$ gibi bir sayı için $\dfrac{6!}{2!2!}=180$ farklı sayıyı denememiz gerekecektir.

Tamamen asal sayının tüm rakamlarının farklı olduğu bilgisi verildiğini varsayarak problemi çözelim.

Tamamen asal sayılar çift rakam içermez. $ \{ 1,3,5, 7, 9\}$ rakamlarını kullanmalıyız. Ancak birler basamağına $5$ gelemeyecektir. O halde $ \{ 1,3, 7, 9\}$ rakamları kullanılmalıdır.

$1379=7 \times 197$ olduğundan asal değildir. Üç basamaklı sayıları inceleyelim:

$ \{ 1,3,7 \}$  denenirse $371 = 7 \times 53$ olduğundan asal değildir.
$ \{ 1,3,9 \}$  denenirse $319 = 11 \times 29$ olduğundan asal değildir.
$ \{ 1,7,9 \}$  denenirse $791 = 7 \times 113$ olduğundan asal değildir.
$ \{ 3,7,9 \}$  denenirse $793 = 13 \times 61$ olduğundan asal değildir.

Böylece üç farklı basamaklı tamamen asal sayı olmadığını görmüş olduk. Şimdi iki basamaklı tamamen asal sayı bulmayı deneyelim. $13$ ve $31$ iki basamaklı tamamen asal sayıya örnek durumdur.

[MATSEVER 27]

Sorudaki ilk hamleniz doğru. Sayımız $1,3,7,9$ rakamlarından oluşmalı. Sonra ilk olarak bu $4$ rakamı istediğimiz kadar kullanarak bir tamamen asal sayı oluşturabilir miyiz, bunu inceleyelim. Burada $(mod 7)$ kullanarak ilerlersek sanırım soruyu çözebiliriz. Buradan çelişki gelecek ve en çok $3$ rakam kullanabileceğimiz anlaşılacaktır diye düşünüyorum.