Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$x^4+y^4+z^4+1 = 4xyz$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[kombinatorist]

Aritmetik orta-geomerik orta eşitsizliği uygulanırsa $x^4+y^4+z^4+1^4>4xyz$. Tabii, eşit de olabilir. Ki bu durum ancak ve ancak $x$, $y$, $z$ nin mutlak değerlerinin eşit olmasıyla sağlanır. Dolayısıyla çözümler, $-1$ ve $1$'in sıralanışlarından elde edilir. Bunlar da $4$ tanedir.