Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$x^4+y^4+z^4+1 = 4xyz$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[kombinatorist]

$x^4, y^4, z^4, 1$ terimleri için aritmetik orta-geomerik orta eşitsizliği uygulanırsa $x^4+y^4+z^4+1^4 \geq 4|xyz| \geq 4xyz$ olur. Verilen denklemin sol tarafı da $4xyz$'dir. Bu durum ancak ve ancak $|x|=|y|=|z|=1$ eşitlikleriyle sağlanır. Denklemin sol tarafı pozitif olduğundan $xyz>0$ koşuluna uygun olarak tüm $(x,y,z)$ üçlüleri $(1,1,1)$, $(-1,-1,1)$, $(-1,1,-1)$, $(1,-1,-1)$ olup $4$ tanedir.