Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir $E$ noktası $\left|AE\right|=\left|EB\right|, m\left ( \widehat{EAB} \right )=11^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{EBC} \right )=71^{\circ}$ koşullarını sağllıyorsa, $m\left ( \widehat{DCE} \right )$ nedir? 

$
\textbf{a)}\ 72^{\circ}
\qquad\textbf{b)}\ 71^{\circ}
\qquad\textbf{c)}\ 70^{\circ}
\qquad\textbf{d)}\ 69^{\circ}
\qquad\textbf{e)}\ 68^{\circ}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$\triangle ABC$ de $AB=BC$ olup $\angle BAC = \angle BCA = 49^\circ$ dir.
$\triangle BEC$ nin iç bölgesinde $\triangle BE'C \cong \triangle BEA$ olacak şekilde bir $E'$ noktası alalım.
$\angle E'BC = \angle E'CB = 11^\circ$, $AE=EB=BE'=E'C$ ve $\angle EBB' = 60^\circ$ dir. Bu durumda $\triangle EBB'$ eşkenardır.
İster basit açı hesabıyla ister $E'$ noktasının $\triangle BEC$ nin çevrel çemberinin merkezi olduğunun fark edilmesiyle $\angle ECB = 30^\circ$ olarak bulunabilir.
Bu durumda $\angle ECA = 49^\circ - 30^\circ = 19^\circ$ dir.
$ABCD$ eşkenar dörtgen olduğu için $\angle ACD = \angle ACB = 49^\circ$ ve $\angle DCE = 49^\circ + 19^\circ = 68^\circ$ dir.

Not:
$0^\circ<t<30^\circ$ olmak üzere; $\triangle ABC$ de, $\angle BAE = \angle ABE =  30^\circ - t$, $\angle EBC = 90^\circ - t$, $\angle EAC = 2t$ olduğu durumda, $\angle ECA = t$ çıkar. Bu soru için $t=19^\circ$ verilmiş.

Ek olarak, bu soru modeli, burada bahsedilen 4.7 numaralı modeldir.
(Bu tip soruların modelini bulmak için bu programı kullanabilirsiniz.)
Burada bahsedilen modelde gösterim yaparsak, $(30^\circ - t = 11^\circ, 90^\circ - t = 71^\circ, x):(30^\circ - t = 11^\circ, 2t = 38^\circ, y)$ dir. Ceva teoreminin trigonometrik halinin bir sonucu olarak gruplardaki açılar kendi aralarında yer değiştirebilir. Bu durumda, bu soru Lise 1. Aşama 2012/17 sorusu ile büyük benzerlik taşır.

[geo]

$\angle EBA = \angle EAB = \alpha$, $\angle EBC = 60^\circ - \alpha$ ve $\angle EAC = 60^\circ - 2\alpha$ olsun.

İddia: $\angle ECB= 30^\circ$ ve $\angle ECA = 30^\circ - \alpha$ dır.

Burada ilgili ispatı bulabilirsiniz. $\blacksquare$

$\alpha = 11^\circ$ aldığımızda, bize sorulan soruyu elde ederiz.
$\angle ABC = 82^\circ$ ve $\angle BCE = 30^\circ$ olduğu için $\angle DCE = (180^\circ - 82^\circ) - 30^\circ = 68^\circ$ dir.