Köklü sayılar ispat sorusu(OYAK 2005 2. aşama)

[neverpass]

kök(n+1) , kök(n+2) , kök(n+3) ve [kök(n)+kök(n+1)] sayılarının tam kısımlarının eşit olduğunu gösteriniz

[Lokman Gökçe]

ispatlanması istenen önerme her n >0 sayısı için  doğru değildir. bu dört sayının tam kısımları eşit olmak zorunda değil. Örneğin:

n = 1 için kök(n+1) = kök(2) olup tamdeğeri 1 dir.
n = 1 için kök(n+3) = kök(4) olup tamdeğeri 2 dir.

[Ferhat GÖLBOL]

Sorunun orijinali OYAK matematik yarışması 2005 2. aşama sınavından.

[Lokman Gökçe]

teşekkürler ferhat kardeşim ... şimdi bi uğraşalım bakalım

[Lokman Gökçe]

her n için kök(4n + 1), kök(4n + 2), kök(4n + 3) sayılarının tam kısımlarının eşit olduğunu ispatlayalım:

k pozitif bir tamsayı olmak üzere kök(4n +1) sayısının tam kısmı k olsun. Bu durumda kök(4n+2) nin tam kısmı ya iddia ettiğimiz şekilde k dır ya da bilemedik en fazla k + 1 dir. Şimdi bunun  k + 1 olamayacağını ispatlayalım.

Bir an için kök(4n +2) sayısının tam kısmının k + 1 olduğunu varsayalım. Bu durumda

4n + 1 < k² + 2k < k² + 2k +1 < 4n + 2

yazılır. 4n + 1  ve 4n + 2 ardışık sayılar olduğundan bunların arasında başka tamsayı yoktur. Dolayısıyla k² + 2k + 1 = (4n + 2) olmalıdır. Fakat bu eşitliği mod4 te incelersek hiçbir sayının karesinin mod4 de 2 ye eşit olamayacağını görürüz. Zira, x tamsayısı için x² = 0,1 (mod4) tür. Bu çelişkiden dolayı kök(4n +1) sayısının tam kısmı da sadece k olabilir.

Benzer akıl yürütme ile, k pozitif bir tamsayı olmak üzere kök(4n +2) sayısının tam kısmı k olsun. Bu durumda kök(4n+3) ün tam kısmı ya iddia ettiğimiz şekilde k dır ya da bilemedik en fazla k + 1 dir. Şimdi bunun  k + 1 olamayacağını ispatlayalım.

Bir an için kök(4n +3) sayısının tam kısmının k + 1 olduğunu varsayalım. Bu durumda

4n + 2 < k² + 2k < k² + 2k +1 < 4n + 3

olur. Ardışık tamsayı özelliğinden 4n + 3 = (k + 1)² olur. Yine mod4 te bu eşitliği incelersek karesi 4  ile bölündüğünde 3 kalanı veren sayı yoktur. Demek ki kök(4n + 3) sayısının da tam kısmı sadece k olabilir.

[Lokman Gökçe]

Şimdi de kök(n) + kök(n + 1) sayısının tam kısmının diğer üç sayının tam kısmına eşit olduğunu gösterelim:

Bunun için kök(4n + 1) < kök(n) + kök(n + 1) < kök(4n + 2) eşitsizliğini ispatlamamız yeterlidir. Kare alma işlemi ile:

kök(4n + 1) < kök(n) + kök(n + 1) <---> 4n + 1 < 2n + 1 + 2kök(n² + n) <---> 2n <2kök(n² + n)

bu son eşitsizlik doğru olduğundan kök(4n + 1) < kök(n) + kök(n + 1) eşitsizliği de doğrudur. Benzer şekilde her iki tarafın karesini alarak kök(n) + kök(n + 1) < kök(4n + 2) olduğunu gösterebiliriz. kök(4n + 1) ve kök(4n + 2) sayılarının tam kısmı k gibi bir sayı iken bunların arasında bulunan kök(n) + kök(n + 1) sayısının tam değeri de k dan başka birşey olamaz. İspat bitmiştir