İlk öncelikle $m=0$ için çözüm yoktur.
1) $m>0$ için pozitif tamsayı çözümlerine bakalım.
$5.2^m+1=a^2$
$mod 5$'te incelersek $a^2≡1(mod 5)$ olduğunu görürüz. Bundan dolayı $k$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $a=5k+1$ veya $a=5k-1$ formunda yazılan bir tamsayı olmalıdır.
1) $a=5k+1$ olsun.
$5.2^m+1=25k^2+10k+1$
$2^m=k(5k+2)$ olduğunu görürüz.
$(k,5k+2)=1 ∨ 2$ olduğundan sırasıyla iki duruma bakalım:
$(k,5k+2)=1$ olursa ya $k=1$ olmalıdır yada $5k+1=1$ olmalıdır. Aksi takdirde bu iki ifadenin çarpımından $2$ dışında başka çarpanlar gelecektir.
$k=1$ ve $5k+2=1$ durumlarından da çözüm gelmez.
$(k,5k+2)=2$ olursa $q$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $k=2q$ dönüştürmesi yapabiliriz ve devamında denklemi düzenlersek
$2$$m-2$=$q(5q+1)$ sonucuna ulaşırız.
Bu seferde $(q,5q+1)=1$ olduğundan ya $q=1$ olmalı yada $5q+1=1$ olmalıdır. Fakat bu durumlardan da çözüm gelmez.
2) $a=5k+1$ olamayacağını gördük. Şimdi $a=5k-1$ olsun. Aynı şekilde:
$5.2^m+1=25k^2-10k+1$
$2^m=k(5k-2)$ olduğunu görürüz.
Yine aynı şekilde $(k,5k-2)=1 ∨ 2$ olduğundan sırasıyla iki duruma bakalım:
$(k,5k-2)=1$ olursa ya $k=1$ olmalıdır yada $5k-2=1$ olmalıdır. Aksi takdirde bu iki ifadenin çarpımından $2$ dışında başka çarpanlar da gelecektir.
$k=1$ ve $5k-2=1$ durumlarından da çözüm gelmez.
$(k,5k-2)=2$ olursa tekrardan $k=2q$ dönüştürmesi yapabiliriz ve devamında denklemi düzenlersek
$2$$m-2$=$q(5q-1)$ sonucuna ulaşırız.
Bu seferde $(q,5q-1)=1$ olduğundan ya $q=1$ olmalı yada $5q-1=1$ olmalıdır. Bu sefer $q=1$ durumundan $2$$m-2$ = $4$ olur. $m=4$ bulunur.
$m>0$ için tek çözümümüz $m=4$ oldu.
2) Şimdi çözüme ek olarak $m<0$ durumlarına bakalım. $n$ pozitif bir tamsayı olacak şekilde $m=-n$ dönüştürmesi yapalım ve denklemi tekrardan yazalım.
$5.2^m+1$ =$\dfrac{5+2^n}{2^n}$
$(5+2^n,2^n)=1$ olduğundan $\dfrac{5+2^n}{2^n}$ ifadesinin bir tamkare olabilmesi için hem $5+2^n$ hemde $2^n$ birer tamkare olmak zorundadır. $2^n$ tamkare olursa $n$ çift olmalıdır. $p$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $n=2p$ dönüştürmesi yapalım.
$5+2^n$ ifadesi de tamkare olmak zorundaydı. $5+2^n=c^2$ olsun.
$5+2$$2p$ = $c^2$
$5=(c-2^p)(c+2^p)$ olmalıdır. $n$ pozitif bir tamsayı olduğundan $c$ sayısı da bir tamsayı olacaktır. Bu yüzden $5$'i tamsayı çarpanlarına ayırarak eşlendirme yapabiliriz ve eşlendirmeden $c=3$ ve $c=-3$ sonuçlarına ulaşırız.
Ve son olarak da $c=3$ ve $c=-3$ için:
$n=2$ olur. $m=-n$ olduğundan $m<0$ için ise tek çözümümüz $m=-2$ olur.
Çözüm kümesi $m=-2$ ve $m=4$ olur.
