Bu sorunun genel hali Erdös tarafından ispatlanmıştır. Bu soru da Bosna Hersek Takım Seçme Sınavı $2002$ sorusu olması lazım. Eke ilgili genel teoremleri ekledim ve kendi çözümümü paylaşayım.
Çeşitli daha basit yöntemler uygulamaya çalıştım ancak hiçbiri sağlanmıyor gibi geldi bana. Art of problem solvingde de tam bir ispatla karşılaşmadım. (Genel teorem hariç) Ben ifadeyi ardışık iki tam kare arasına sıkıştırma yöntemiyle çözeyim.
$n\geq1$ tamsayı olmak üzere ifademiz $n.(n+1)....(n+9)$ olur. Bu tip ifadeleri iki tam kare arasına sıkıştırabiliyorsak genellikle en yüksek derecesi $10/2=5$ olacak şekilde yani $an^5+bn^4+nc^3+dn^2+en+f$ formatında bir ifadenin karesi ile bir fazlasının karesi arasına sıkıştırmalıyız. Bu aralığa sıkıştırmak istediğimiz cebirsel ifadeyi de $a^2$ ile çarpmalıyız ki aralığa girsin.
$$(an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f)^2=(a^2)n^{10}+(2ab)n^9+(b^2+2ac)n^8+(2ad+2bc)n^7+(c^2+2ae+2bd)n^6+(2af+2be+2cd)n^5+...$$ ve
$$(an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f+1)^2=(a^2)n^{10}+(2ab)n^9+(b^2+2ac)n^8+(2ad+2bc)n^7+(c^2+2ae+2bd)n^6+(2af+2be+2cd+2a)n^5+...$$ olduğu görülebilir. (İlk farklı olan terime kadar açtık) Şimdi ise $a^2.n.(n+1)(n+2)...(n+9)$ u hesaplayalım (S olarak tanımlayalım.).
$$S=a^2n^{10}+(45a^2)n^9+(870a^2)n^8+(9450a^2)n^7+(63273a^2)n^6+(269325a^2)n^5+....$$ olduğu görülür. $n^6$ ya kadar tüm terimler eşit olması gerektiğinden ve $n^5$ li terimin aralıkta kalması gerektiğinden.
$2ab=45a^2$ , $b^2+2ac=870a^2$ ,$2ad+2bc=9450a^2$ , $c^2+2ae+2bd=63273a^2$ denklemlerini çözüp en küçük tamsayı çözümü alırsak.
$$a=128,b=2880,c=23280,d=81000,e=109947$$ olur. Ayrıca $$2af+2be+2cd<269325a^2<2af+2be+2cd+2a$$ eşitsizliğini çözersek
$31116,5<f<31117,5$ gelir yani $f=31117$ olur. Buradan da şunu elde ederiz. $$(128n^5+2880n^4+23280n^3+81000n^2+109947n+31117)^2<S<(128n^5+2880n^4+23280n^3+81000n^2+109947n+31118)^2$$ elde edilir. (Öbür katsayılarda açılarak eşitsizlik sınırlarının çözümlerinin daima sağlandığı gösterilebilir ancak sayılar büyük olduğu için oldukça yorucu.)
Dolayısıyla $128^2.(n.(n+1)....(n+9))$ ifadesi iki tam kare arasına sıkıştığı için $n.(n+1)...(n+9)$ ifadesi de asla tam kare olamaz.
