Genelleştirilmiş JBMO Shortlist 2022 #A.3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,p,k,\lambda$ pozitif reeller olmak üzere $k\geq p+\lambda$ ve $a+b+c=1$ ifadeleri sağlanıyorsa


$$a.\sqrt[k]{\dfrac{b^p}
{a^\lambda }}+b.\sqrt[k]{\dfrac{c^p}{b^\lambda }}+c.\sqrt[k]{\dfrac{a^p}{c^\lambda }}\leq \dfrac{\left(p+2\lambda\right)\left(ab+bc+ca\right)}{k}+1-\dfrac{p}{k}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$k=3,p=1,\lambda =1$$
verildiğinde problem JBMO Shortlist #A.3'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a$'ları kök içine dağıtırsak
$$a.\sqrt[k]{\dfrac{b^p}
{a^\lambda }}+b.\sqrt[k]{\dfrac{c^p}{b^\lambda }}+c.\sqrt[k]{\dfrac{a^p}{c^\lambda }}=\sqrt[k]{b^pa^{k-\lambda}}+\sqrt[k]{c^pb^{k-\lambda}}+\sqrt[k]{a^pc^{k-\lambda}}$$
Şimdi Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanırsak
$$\sqrt[k]{a^pc^{k-\lambda}}\leq \dfrac{\overbrace{3ab+3ab+\cdots+3ab}^{\lambda}+\overbrace{ab+ab+\cdots+ab}^{p-\lambda}+\overbrace{a+a+\cdots+a}^{k-p-\lambda}+\overbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{3}}^{\lambda}}{k}$$
Bu $k\geq p+\lambda$ sonucu $b$ çarpanının daha az olmasından doğrudur (orijinal problemde de ôyledir). O zaman
$$\sum_{cyc}{\sqrt[k]{a^pc^{k-\lambda}}}\leq \dfrac{\sum\limits_{cyc}{\overbrace{3ab+3ab+\cdots+3ab}^{\lambda}+\overbrace{ab+ab+\cdots+ab}^{p-\lambda}+\overbrace{a+a+\cdots+a}^{k-p-\lambda}+\overbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{3}}^{\lambda}}}{k}$$
$$=\dfrac{\left(p+2\lambda\right)\left(ab+bc+ca\right)+\left(k-p-\lambda\right)\left(a+b+c\right)+\lambda}{k}\leq \dfrac{\left(p+2\lambda\right)\left(ab+bc+ca\right)}{k}+1-\dfrac{p}{k}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.