Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 4

[Arman]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ nin pozitif bölenlerinin sayısını $\sigma(n)$, $n$ nin pozitif böleni olup $1$ fazlası $n+1$ i tam bölen pozitif tam sayıların sayısını da $s(n)$ ile gösterelim.

$$2s(n) - \sigma(n) $$

ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

[nk6]

Gözlem: $n=ab$ ve $\{a,b\} \neq \{1,n\}$ ise $a+1$ ve $b+1$ aynı anda $n+1$ i bölemez.

İspat: Aksini varsayalım ve genelliği bozmadan $a\leq b$ kabul edelim.

$b+1 \mid ab+1 \Rightarrow b+1 \mid a-1$ ve $a\neq 1$ olduğundan $a>b$ elde ederiz, çelişki.

Dolayısıyla $n$ nin bölenlerini ikişerli grupladığımızda bu gruplardan $(1,n)$ haricindekilerin en fazla bir elemanı $n+1$ i bölebilir (ayrıca $n$ tamkareyse $\sqrt{n}$ sayısı $n+1$ i bölemez). Bu da demektir ki $s(n)\leq\lfloor\frac{\sigma(n)}{2}\rfloor + 1$

Dolayısıyla $2s(n) - \sigma(n) \leq 2$ olur, örnek olarak $n=3$ sağlar.