Gönderen Konu: Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 4  (Okunma sayısı 460 defa)

Çevrimdışı Arman

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 52
  • Karma: +2/-0
Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 4
« : Şubat 27, 2019, 06:55:14 ös »
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ nin pozitif bölenlerinin sayısını $\sigma(n)$, $n$ nin pozitif böleni olup $1$ fazlası $n+1$ i tam bölen pozitif tam sayıların sayısını da $s(n)$ ile gösterelim.

$$2s(n) - \sigma(n) $$

ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.
« Son Düzenleme: Şubat 25, 2020, 02:11:33 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı nk6

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 4
« Yanıtla #1 : Şubat 28, 2019, 03:54:32 ös »
Gözlem: $n=ab$ ve $\{a,b\} \neq \{1,n\}$ ise $a+1$ ve $b+1$ aynı anda $n+1$ i bölemez.

İspat: Aksini varsayalım ve genelliği bozmadan $a\leq b$ kabul edelim.

$b+1 \mid ab+1 \Rightarrow b+1 \mid a-1$ ve $a\neq 1$ olduğundan $a>b$ elde ederiz, çelişki.

Dolayısıyla $n$ nin bölenlerini ikişerli grupladığımızda bu gruplardan $(1,n)$ haricindekilerin en fazla bir elemanı $n+1$ i bölebilir (ayrıca $n$ tamkareyse $\sqrt{n}$ sayısı $n+1$ i bölemez). Bu da demektir ki $s(n)\leq\lfloor\frac{\sigma(n)}{2}\rfloor + 1$

Dolayısıyla $2s(n) - \sigma(n) \leq 2$ olur, örnek olarak $n=3$ sağlar.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal