$23p_1.p_4.p_5+k\sqrt{2015p_1p_2p_3}=p_1^2.p_2.p_3$ eşitliği sağlanacak şekilde

[MATSEVER 27]

Her $i=1,2,3,4,5$ için $p_i$ asal sayı ve $k$ pozitif tamsayı olmak üzere;
$$23p_1.p_4.p_5+k\sqrt{2015p_1p_2p_3}=p_1^2.p_2.p_3$$
eşitliği sağlanacak şekilde $p_i$ sayıları bulunmasını mümkün kılan en küçük $k$ kaçtır?

(Mehmet Berke İşler)

[ArtOfMathSolving]

denklemin sağ tarafı tamsayı olduğu için sol tarafı da tamsayı olmalı, bunun için $\sqrt{2015p_1p_2p_3}$ ifadesinin de tamsayı olması gerekir. Yani $p_1,p_2,p_3 \in {5,13,31}$ olmalı. O zaman denklemi düzenleyelim.

$2015p_1=2015k+ 23p_1p_2p_3 \Rightarrow 2015(p_1-k)=23p_1p_4p_5$ Burada da $p_1-k\mid 23$ olacak şekilde en büyü $k$ tamsayısı soruluyor. $p_1 \in {5,13,31}$ olduğu için $\min{k}=31-23=8$ bulunur.