$(n.10^m,(n+1).10^m)$ olacak şekilde seçilen belirli bir $m$ değerinden sonra bu aralıkta daima asal olduğunu gösterebilirsek sorumuzda isteneni de ispatlamış oluyoruz. Bu da bana yakın zamanda karşılaştığım Dusart'ın çalışmasını çağrıştırdı, onu kullanmaya çalıştım.
Dusart Teoremi: Her $x\ge x_0$ için ($x_0$ burada $C$ sabit iken sabit bir sayı oluyor ve $\log$ burada doğal logaritmayı temsil ediyor.) (Bu teorem her $C$ sabiti için ispatlandı mı şu anda bilmiyorum.)
\[
\exists\ p\ \text{asalı}\ \text{için}\quad p\in\Bigl(x,\ x+\frac{x}{C(\log x)^2}\Bigr),
\]
sağlanır.
Yukarıdaki ifadede $C=25$ alırsak $x \geq x_0$ sağlayan her $x$ pozitif tam sayısı için ($x_0$ $C=25$ durumunda yaklaşık $3,96.10^5$ çıkıyor)
\[
(x,\ x+\tfrac{x}{25(\log x)^2}) \ \text{aralığında en az bir asal vardır.}
\]
Sabit bir $n\ge 1$ seçelim. $x_m=n\cdot 10^{m}$ ve
\[
I_m=(x_m,\ (n+1)\cdot 10^{m})=(x_m,\ x_m+10^{m})
\]
olsun. Bu aralığın uzunluğu $|I_m|=10^{m}=x_m/n$’dir.
Dusarttan elde ettiğimiz asalın düştüğü aralığın uzunluğu
\[
L_m=\frac{x_m}{25(\log x_m)^2}.
\]
Eğer $L_m\le |I_m|$ ise, o asal zaten $I_m$ içine düşer. Eşitsizlik
\[
\frac{x_m}{25(\log x_m)^2}\le \frac{x_m}{n}
\quad\Longleftrightarrow\quad
(\log x_m)^2\ge \frac{n}{25}
\]
şeklindedir. Burada $\log x_m=\log(n\cdot 10^{m})=\log n+m\log 10$ olduğundan, $m$ büyüdükçe sol taraf sonsuza gider ve bu koşulu sağlayacak bir değer bulabiliriz. Ayrıca Dusart'tan gelen sonucu uygulayabilmek için $x_m$’in yeterince büyük olması gerekiyor bunu da $m$ i yeterince büyük seçersek sağlamış olduğumuzu göstermiş oluyoruz.
Dolayısıyla bir $M(n)$ vardır ki $m\ge M(n)$ olduğunda hem $x_m$ yeterince büyüktür hem de $L_m\le |I_m|$ olur; böylece
\[
(x_m,\ x_m+L_m)\subset (x_m,\ x_m+10^{m})=I_m
\]
ve $I_m$ içinde en az bir asal bulunur. Bu da her sabit $n$ için $m$’ler sonsuza giderken $n$ ile başlayan sonsuz sayıda asal elde edildiğini gösterir.
$C=25$ ekteki PDF'te mevcut. 2. eklediğim PDF de Dusart'ın $2018$ de yaptığı çalışmasından
