Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2013

Her $k$ ve $n$ pozitif tam sayı ikilisi için, $$1+\dfrac{2^k-1}{n} = \left( 1 + \dfrac {1}{m_1} \right)\left( 1 + \dfrac {1}{m_2} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac {1}{m_k} \right)$$ eşitliğini sağlayan $m_1, m_2, \dots, m_k$ (farklı olmaları gerekmeyen) pozitif tam sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

Düzlem üzerindeki $4027$ noktanın herhangi üçü doğrusal olmayıp, $2013$ tanesi kırmızı ve $2014$ tanesi mavi ise, bu $4027$ noktaya bir Kolombiya konfigürasyonu diyelim. Düzlemde çizilen birkaç doğru düzlemi bölgelere ayırır. Bir doğrular kümesi, bir Kolombiya konfigürasyonu için aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa, bu küme bu konfigürasyon için iyi kabul ediliyor.

• doğrulardan her biri, konfigürasyonun hiçbir noktasından geçmemektedir;
• her iki rengi birden içeren bölge bulunmamaktadır.

$4027$ noktalı herhangi bir Kolombiya konfigürasyonu verildiğinde, bu konfigürasyon için iyi olan ve $k$ doğrudan oluşan bir küme bulunuyorsa, $k$ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çember $BC$ kenarına $A_1$ noktasında teğet olsun. Benzer şekilde, $B$ ve $C$ köşelerinin karşısındaki dışteğet çemberleri kullanarak $CA$ kenarı üzerinde $B_1$ ve $AB$ kenarı üzerinde $C_1$ noktalarını tanımlayalım. $A_1B_1C_1$ üçgeninin çevrel merkezi $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde ise, $ABC$ üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösteriniz.

$ABC$ üçgeninin $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çember; $BC$ kenarına, $B$'nin ötesinde $AB$ ışınına ve $C$'nin ötesinde $AC$ ışınına teğet olan çemberdir. $B$ ve $C$ köşelerinin karşısındaki dışteğet çemberler de benzer biçimde tanımlanıyor.

Diklik merkezi $H$ olan bir dar açılı $ABC$ üçgeninde $W$, $BC$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$ den farklı bir nokta olsun. $M$ ve $N$ noktaları, sırasıyla $B$ ve $C$ ye ait yükseklik ayağı olsun. $BWN$ nin çevrel çemberi $w_1$ olmak üzere; $w_1$ üzerinde bir $X$ noktası, $[WX]$ doğru parçası $w_1$ in bir çapı olacak şekilde seçiliyor. Benzer biçimde $CWM$ nin çevrel çemeri $w_2$ olmak üzere; $w_2$ üzerinde bir $Y$ noktası, $[WY]$ doğru parçası $w_2$ nin bir çapı olacak şekilde seçiliyor. $X$, $Y$ ve $H$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

Pozitif rasyonel sayılar kümesini $\mathbb {Q}_{>0}$ ile gösterelim. Bir $f : \mathbb {Q}_{>0}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu aşağıdaki üç koşulu sağlamaktadır:

• her $x, y \in \mathbb {Q}_{>0}$ için, $f(x)f(y) \geq f(xy)$;
• her $x, y \in \mathbb {Q}_{>0}$ için, $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$;
• $f(a) = a$ olacak şekilde bir $a > 1$ rasyonel sayısı vardır.

Her $x \in \mathbb {Q}_{>0}$ için $f(x) = x$ olduğunu gösteriniz.

$n \geq 3$ bir tam sayı olmak üzere, bir çember üzerinde çemberi eşit yaylara bölen $n + 1$ nokta işaretlenmiştir. $0,1,\dots,n$ sayılarının her biri tam olarak bir kez kullanılarak işaretli noktalara yazılmasına numaralandırma diyelim. Biri diğerinden çemberin döndürülmesi ile elde edilen iki numaralandırma aynı sayılmaktadır. Bir numaralandırmada, $a+d = b+c$ koşulunu sağlayan her $a < b < c < d$ için uçlarında $a$ ve $d$ yazan kiriş ile uçlarında $b$ ve $c$ yazan kiriş kesişmiyorsa, bu numaralandırmaya güzel diyelim.
Güzel numaralandırmaların sayısı $M$, $x + y \leq n$ ve $obeb(x, y) = 1$ koşullarını sağlayan $(x, y)$ pozitif tam sayı sıralı ikililerinin sayısı $N$ olsun. $$ M = N + 1 $$ olduğunu gösteriniz.