Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 5

[geo]

Pozitif rasyonel sayılar kümesini $\mathbb {Q}_{>0}$ ile gösterelim. Bir $f : \mathbb {Q}_{>0}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu aşağıdaki üç koşulu sağlamaktadır:

• her $x, y \in \mathbb {Q}_{>0}$ için, $f(x)f(y) \geq f(xy)$;
• her $x, y \in \mathbb {Q}_{>0}$ için, $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$;
• $f(a) = a$ olacak şekilde bir $a > 1$ rasyonel sayısı vardır.

Her $x \in \mathbb {Q}_{>0}$ için $f(x) = x$ olduğunu gösteriniz.