$11\times 11$ satranç tahtası bir tane $\square$ ve kırk tane $\square\square\square$ ile kapatılırsa, $\square$ şeklinin tahtadaki hangi karelere gelebileceğini belirleyiniz.

$P$, $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir nokta ise, $$\min \lbrace \vert PA\vert , \vert PB\vert , |PC|\rbrace +\vert PA\vert +\vert PB\vert +\vert PC\vert <\vert AB\vert +\vert BC\vert +|CA|$$ olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. Hangi $n+1\le r\le 3n+2 $ tam sayıları için, $$a_{1}b_{1}^{k}+a_{2}b_{2}^{k}+\ldots +a_{m}b_{m}^{k}=0 \qquad (1\le k\le n)$$ koşulunu sağlayan tüm $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}$ tam sayılarının, $$ r|a_{1}b_{1}^{r}+a_{2}b_{2}^{r}+\ldots +a_{m}b_{m}^{r}$$ koşulunu da sağlayacağını belirleyiniz.

$\sin \alpha =3/5$ ve $x=5^{2003}\sin (2004\alpha )$ ise, $ x- \lfloor x \rfloor  $ sayısının alabileceği bütün değerleri bulunuz.

$D$, dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $O$ merkezli çevrel çemberinin küçük $AC$ yayı üzerinde $A$ ve $C$ den farklı bir nokta olsun. $\lbrack AB\rbrack $ kenarı üzerinde $\widehat{ADP}=\widehat{OBC}$ olacak biçimde $P$ noktası, $\lbrack BC\rbrack $ kenarı üzerinde ise $\widehat{CDQ}=\widehat{OBA}$ olacak biçimde bir $Q$ noktası alınıyor. $\widehat{DPQ}=\widehat{DOC}$ olduğunu gösteriniz.

Bir sınıftaki öğrencilerin her birinin elinde $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ veya $6$ tane şeker vardır. Öğretmen her adımda, bazı öğrencileri seçip, bu öğrencilere ve bu öğrencilerden herhangi biri ile arkadaş olan her öğrenciye birer şeker veriyor. Elindeki şeker sayısı $7$ ye ulaşan öğrenci bunların hepsini yiyor. Sınıftaki herhangi iki öğrenci için bunlardan yalnızca biriyle arkadaş olan üçüncü bir öğrenci bulunuyorsa, başlangıçtaki şeker sayıları ne olursa olsun, öğretmenin sonlu sayıda adım sonucunda her öğrencinin elinde istediği sayıda şeker kalmasını sağlayabileceğini gösteriniz.