1
$3^a5^b-2024$ ifadesinin bir pozitif tam sayının karesine eşit olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ negatif olmayan tam sayı ikililerini bulunuz.
Çözüm:
(Resmi çözüm)
$3^a.5^b-2024=c^2$ olsun. $c$ nin tek sayı olduğu açıktır. Denklem $\mod 8$ de incelenirse $c^2\equiv 1\mod8$ olduğu görülür; dolayısıyla $3^a.5^b\equiv 1\mod8$ olmalıdır.
$3^a\equiv 3,1\mod8$ ve $5^b\equiv 1,5\mod8$ olduğundan $3^a.5^b\equiv 1\mod8$ eşitliğinin sağlanması için $3^a\equiv 1\mod8$ ve $5^b\equiv 1\mod8$ olmalıdır, yani $a$ ve $b$ çift sayılardır. $a=2x$ ve $b=2y$ diyelim. Bu durumda
$$(3^x.5^y-c).(3^x.5^y+c)=2024=2^3.11.23$$
şeklinde yazılırsa $2024$ sayısının sadece $44$ ve $46$ çarpanları için $x=2$ ve $y=1$ çözünün geldiğini görürüz. Dolayısıyla $a=4$ ve $b=2$ yegane çözümdür.
2
Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan $P$ ve $Q$ noktaları $\angle{APB}=\angle{AQC}$ ve $\angle{APC}=\angle{AQB}$ koşullarını sağlıyor. $APQ$ üçgeninin çevrel çemberinin $AB$ ve $AC$ kenarlarıyla ikinci kez kesiştiği noktalar sırasıyla $K$ ve $L$ olsun. $B, C, L, K$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.
3
$n\geq 2$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $a_1,a_2,\dots ,a_n$ birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olsun. $C_1,C_2,\dots , C_n$ şehirlerinden oluşan bir ülkede, her $(i,j)$ ikilisi için $C_i$ ve $C_j$ şehirleri arasında bir çift yönlü uçak seferi vardır. Her $(i,j)$ ikilisi için $C_i$ ile $C_j$ şehirleri arasındaki uçak seferinin ücreti $a_i+a_j$ dir. Bu ülkedeki bir gezgin, kullandığı her uçak seferinin ücreti bir önceki uçak seferinin ücretinden fazla olacak şekilde bir yolculuk yapmıştır. Buna göre, bu gezginin yaptığı uçak seferi sayısının alabileceği maksimum değeri bulunuz.
4
$n\geq 2$ bir pozitif tam sayı ve $a_1, a_2,\dots , a_n>1$ gerçel sayılar olmak üzere
$$\prod_{i=1}^n \left(a_ia_{i+1}-\frac{1}{a_ia_{i+1}}\right)\geq 2^n \prod_{i=1}^n \left(a_i-\frac{1}{a_i}\right)$$
olduğunu gösteriniz (burada, $a_{n+1}=a_1$).