Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2024 Soru 2

[ygzgndgn]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan $P$ ve $Q$ noktaları $\angle{APB}=\angle{AQC}$ ve $\angle{APC}=\angle{AQB}$ koşullarını sağlıyor. $APQ$ üçgeninin çevrel çemberinin $AB$ ve $AC$ kenarlarıyla ikinci kez kesiştiği noktalar sırasıyla $K$ ve $L$ olsun. $B, C, L, K$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

Sınavdaki çözümüm.
$AP$ ve $AQ$ doğruları $BC$ yi sırasıyla $X$ ve $Y$ de kessin.

İddia. $B,P,Q,C$ çemberdeştir.
İspat. Soruda verilenlerden $\angle{APB}+\angle{APC}=\angle{AQB}+\angle{AQC}\Rightarrow \angle{BPC}=\angle{BQC}.$ Bu ise iddiayı ispatlar.

İddia. $P,Q,Y,X$ çemberdeştir.
İspat. $\angle{APB}=\angle{AQC}=a$ ve $\angle{PBC}=b$ olsun.
$\angle{PXY}=180-\angle{PXB}=\angle{BXP}+\angle{PBX}=180-a+b$ ve $\angle{PQX}=\angle{PQC}-\angle{YQC}=a-b.$ İki açı toplanırsa iddianın sağlandığı görülür.

İddia. $K,P,X,B$ ve $L,Q,Y,C$ çemberdeştir.
İspat. $\angle{PXY}=\angle{AQP}=\angle{BKP}\Rightarrow K,P,X,B$ çemberdeştir. ($A,K,P,Q$ çemberdeş) Diğer çemberdeşlik de benzer şekilde ispatlanır.

İddia. $B,C,L,K$ çemberdeştir.
İspat. $A$ daki kuvvetten
$$AK\cdot AB=AP\cdot AX=AQ\cdot AY=AL\cdot AC$$
gelir. Bu ise ispatı bitirir.

[ygzgndgn]

Resmi çözümü de sunalım.

Çözüm: $AQ \cap PC = E$ ve $AP \cap BQ = D$ olsun. $\angle QAC = \alpha$, $\angle PCA = \beta$ ve $\angle PCB = \theta$ olsun. Soruda verilen açı eşitliklerinden dolayı $B, C, P, Q$ çemberdeştir, aynı zamanda $D, E, P, Q$ çemberdeştir. Bu durumda $\angle PCB = \angle PQB = \angle PEB = \theta$ bulunur. $AEC$ üçgeninde iki iç açının toplamı bir dış açıya eşit olacağından $\angle AEP = \angle EAC + \angle ECA = \alpha + \beta $ elde edilir. Buradan $\angle AED = \alpha + \beta + \theta$ ve çemberdeşlikten $
\angle APQ = \alpha + \beta + \theta$ bulunur. $APQ$ üçgeninin çevrel çemberinde de açı takibi yaparak
\[
\angle AKL = \angle APQ - \angle QAL = \alpha + \beta + \theta - \alpha = \beta + \theta = \angle ACB
\]
elde edilir ve bu açı eşitliği $B, C, K, L$ noktalarının çemberdeş olması anlamını taşıdığı için ispat tamamlanır. $\blacksquare$

[ygzgndgn]

Farklı bir bakış açısını daha belirtelim.
Diyagramı $A$'dan herhangi bir yarıçapla evirtelim. $X$ noktasının evirtimdeki karşılığı $X'$ olsun. Sorudaki koşullardan ötürü $\angle{AB'P'}=\angle{AC'Q'}$ ve $\angle{AB'Q'}=\angle{AC'P'}$ sağlanır.

İddia. $B',P',Q',C'$ çemberdeş.
İspat. $$\angle{P'B'Q'}=\angle{AB'P'}-\angle{AB'Q'}=\angle{AC'Q'}-\angle{AC'P'}=\angle{P'C'Q'}$$ sağlanır. Bu iddiayı ispatlar.

İddia. $K',B',C',L'$ çemberdeş.
İspat. Evirtimden ötürü $K',P',Q',L'$ noktaları doğrudaştır. Buradan $\angle{L'Q'C'}=\angle{P'B'C'}$ gelir. Açı yazarsak
$$\angle{K'B'P'}=180-\angle{AB'P'}=180-\angle{AC'Q'}=\angle{Q'C'L'}\Rightarrow \angle{C'L'K'}=\angle{C'L'Q'}=\angle{C'B'A}$$
buluruz, bu ise iddianın ispatı için yeterlidir.

Diyagramı geri evirtirsek $K',B',C',L'$ çemberdeştir $\Rightarrow B,C,L,K$ çemberdeştir. Bu ispatı bitirir. $\blacksquare$