Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2024 Soru 1

[ygzgndgn]

$3^a5^b-2024$ ifadesinin bir pozitif tam sayının karesine eşit olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ negatif olmayan tam sayı ikililerini bulunuz.

[ygzgndgn]

Sınavdaki çözümüm. (Basitleştirilmiş)
$3^a5^b=c^2+2024$ denkleminin çözümlerini arıyoruz.
$(-1)^a\equiv c^2\pmod{4}\Leftrightarrow a$ çifttir.
$5^b\equiv c^2\pmod{8}\Leftrightarrow b$ çifttir. O halde
$2024=(3^{a/2}5^{b/2}-c)(3^{a/2}5^{b/2}+c)$ sağlanmalıdır.
$(3^{a/2}5^{b/2}-c,3^{a/2}5^{b/2}+c) \mid 2\cdot 3^{a/2}5^{b/2}$ sağlanır fakat $3,5$ sayıları $2024$ ü tam bölmez. Öyleyse çarpanların ebobu $1$ ya da $2$ olmalı. Buradan $2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ bilgisi de kullanılarak durum incelemesi yapılır. İncelemeler sonucunda tek çözüm $(a,b)=(4,2)$ olarak bulunur. Gerçekten de $2025-2024=1^2$ sağlanır.

[alpercay]

(Resmi çözüm)
$3^a.5^b-2024=c^2$ olsun. $c$ nin tek sayı olduğu açıktır. Denklem $\mod 8$ de incelenirse $c^2\equiv 1\mod8$ olduğu görülür; dolayısıyla $3^a.5^b\equiv 1\mod8$ olmalıdır.

$3^a\equiv 3,1\mod8$  ve $5^b\equiv 1,5\mod8$  olduğundan  $3^a.5^b\equiv 1\mod8$ eşitliğinin sağlanması için $3^a\equiv 1\mod8$ ve $5^b\equiv 1\mod8$ olmalıdır, yani $a$ ve $b$ çift sayılardır. $a=2x$ ve $b=2y$ diyelim. Bu durumda

$$(3^x.5^y-c).(3^x.5^y+c)=2024=2^3.11.23$$

şeklinde yazılırsa $2024$ sayısının  sadece $44$ ve $46$ çarpanları için $x=2$ ve $y=1$ çözünün geldiğini görürüz. Dolayısıyla $a=4$ ve $b=2$ yegane çözümdür.