Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2024 Soru 4

[ygzgndgn]

$n\geq 2$ bir pozitif tam sayı ve $a_1, a_2,\dots , a_n>1$ gerçel sayılar olmak üzere
$$\prod_{i=1}^n \left(a_ia_{i+1}-\frac{1}{a_ia_{i+1}}\right)\geq 2^n \prod_{i=1}^n \left(a_i-\frac{1}{a_i}\right)$$
olduğunu gösteriniz (burada, $a_{n+1}=a_1$).

[ygzgndgn]

Sınavdaki çözümüm.
$b_i=a_i-\frac{1}{a_i}$ tanımlayalım. AGO'dan
$$a_ia_{i+1}+\frac{1}{a_ia_{i+1}}=b_ib_{i+1}+\frac{a_i}{a_{i+1}}+\frac{a_{i+1}}{a_i}\geq b_ib_{i+1}+2$$
$$\Leftrightarrow \left(\sqrt{a_ia_{i+1}}-\frac{1}{\sqrt{a_ia_{i+1}}}\right)^2\geq b_ib_{i+1}$$ gelir. İki taraf da her $i$ için doğrudur. O halde $i=1,2,\dots , n$ için çarpabiliriz. Karekök alınca
$$\prod_{i=1}^n \left((\sqrt{a_ia_{i+1}}-\frac{1}{\sqrt{a_ia_{i+1}}}\right)\geq \prod_{i=1}^n (b_i)=\prod_{i=1}^n \left(a_i-\frac{1}{a_i}\right)$$ bulunur. Öyleyse
$$a_ia_{i+1}-\frac{1}{a_ia_{i+1}}\geq 2\sqrt{a_ia_{i+1}}-\frac{2}{\sqrt{a_ia_{i+1}}}\Leftrightarrow (\sqrt{a_ia_{i+1}}-1)^2\geq 0$$ ise soru biter. Fakat bu daima doğrudur. İspat biter.

Not: Bu eşitsizliğin eşitlik durumu soruda verilen koşuldan ötürü mevcut değildir. Her $i$ için $a_i=1+\varepsilon$ yazılırsa $\varepsilon\rightarrow 0$ iken eşitlik vardır.

[ygzgndgn]

Sınav sonrası Barış Koyuncu tarafından bir çözüm önerildi.
$n=2$ durumu
$$\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2\geq 4\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(y-\frac{1}{y}\right)$$
eşitsizliğine denktir. Birkaç AGO ile bunu ispatlamak zor değildir. $x=a_i, y=a_{i+1}$ yazılıp ifade $i=1,2,\dots n$ için çarpılırsa eşitsizlik ispatlanır.