On tabanına göre yazılışı $1994$ ile biten ve bir $n\ge 1$ tamsayısı için $1994\cdot 1993^{n}$ şeklinde olan bir tamsayının varlığını gösteriniz.

Bir $ABC$ ($m(\widehat{B})=90^{\circ}$) üçgeninin $I$ merkezli iç teğet çemberi, $\lbrack BC\rbrack , [CA]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırası ile $D,E$ ve $F$ noktalarında değiyor. $\lbrack CI \cap \lbrack EF\rbrack ={L}$ ve $\lbrack DL \cap \lbrack AB\rbrack ={N}$ olduğuna göre $\vert AI\vert =|ND|$ olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tamsayı ve $A=\{1,\ldots ,n\}$ olsun. $f:A\to A $ ve $\sigma :A\to A$ gibi iki permütasyon için, eğer $(f \circ\sigma )(1),\ldots,(f \circ \sigma )(k)$ artan ve $(f \circ\sigma )(k),\ldots,(f \circ\sigma )(n)$ azalan bir dizi olacak şekilde bir $k \in A$ var ise, $f,\sigma $ 'ya göre "tek tepeli''dir diyeceğiz. $S_{\sigma }$ ile $\sigma $'ya göre tek tepeli permütasyonların kümesini gösterelim.
$n\ge 4$ ise, $ S_{\sigma }\cap S_{\pi }=\phi $ olacak şekilde $\sigma $ ve $\pi $ permütasyonlarının var olduğunu gösterelim.

Her $n\ge 1$ için $0<a_{n+1}-a_{n}<\sqrt{a_{n}} $ koşulunu sağlayan bir $(a_{n})$ pozitif tamsayılar dizisi veriliyor. $0<x<y<1$ koşulunu sağlayan herhangi $x,y$ reel sayıları için $$x<\dfrac{a_{k}}{a_{m}}<y$$ olacak şekilde $a_{k}$ ve $a_{m}$ terimleri bulunduğunu gösteriniz.

Dışbükey bir dörtgeni alanca iki eşit bölgeye ayıran ve dörtgenin bir köşesinden geçen doğrunun pergel ve cetvelle nasıl çizilebileceğini belirleyiniz.

Aşağıdaki koşulları sağlayan $n_{1}, n_{2},\ldots n_{k}$ ve $a$ pozitif tamsayıları veriliyor.

• Her $i\ne j$ için $(n_{i},n_{j})=1$
• Her $i$ için $a^{n_{i}}\equiv 1 \pmod {n_{i}}$.
• Her $i$ için $ n_{i} \nmid a-1$

Bu durumda $a^{x}\equiv 1 \pmod x$ denkliğinin gerçekleştiği en az $2^{k+1}-2$ tane $x>1$ tamsayısının bulunduğunu gösteriniz.