Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2005 - Lise 2 Çözümleri
1
Her $x,y \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ için
$$x \cdot f \left( x+ \dfrac{1}{y} \right) - y \cdot f \left( y+ \dfrac{1}{x} \right) = x \cdot f(x) - y \cdot f(y)$$
eşitliğini sağlayan $f$ fonksiyonlarının hepsini bulunuz.
2
Yarıçapları $1$'e eşit olan $100$ çember bir düzlem üzerinde öyle yerleştirilmiştir ki, her çember tam iki tane çembere (dıştan) teğettir. Çemberlerin birbirine değme noktaları $D_1,D_2,...,D_{100}$ ile gösterilsin. Bu çemberlerin sınırladığı daireler dışında herhangi bir $A$ noktası alınsın. $A$'dan çemberlere çizilmiş teğetlerin uzunlukları $T_1,T_2,...,T_{100}$ olsun.
$$T_1 \cdot T_2 \cdots T_{100} \leq |AD_1| \cdot |AD_2| \cdots |AD_{100}|$$
olduğunu gösteriniz.
3
$x+y+z=1$ eşitliğini sağlayan her pozitif $x,y$ ve $z$ sayıları için
$$18xyz+7(x^2+y^2+z^2) \geq 3$$
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.
4
Bir düzgün $888$-genin $24$ tane köşesi kırmızıya ve $37$ tane köşesi de beyaza boyanmıştır. Uçları kırmızı olan köşelerde olan parçalara "kırmızı parçalar" ve uçları beyaz köşelerde olan parçalara da "beyaz parçalar" diyelim. Uzunlukları eşit olan en az bir "kırmızı" ve bir "beyaz" parça bulunduğunu gösteriniz.
5
Her $n \geq 1$ için
$$x_{n+2} = \sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_n}$$
eşitliğini sağlayan pozitif terimli $x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$ dizisinin var olmadığını gösteriniz.