Geomania.Org Forumları

$abcd=1$ eşitliğini sağlayan $a,b,c,d$ pozitif reel sayıları için
$$\dfrac{1+abc}{a+1}+\dfrac{1+bcd}{b+1}+\dfrac{1+cda}{c+1}+\dfrac{1+dab}{d+1} \geq 4$$
olduğunu ispatlayınız.

$2^{2001}+3^{2001}=n^k,\ (n,k \in \mathbb N)$ sağlanacak biçimde $n$'nin varlığı için $k$ sayısı $1$'e eşit olmalıdır. İspatlayınız.

Bir çember $32$ eş parçaya bölünmüştür. Uç noktaları çakışan herhangi $2$ parçaya "komşu parçalar" diyeceğiz. Ahmet ve Betül şöyle bir oyun oynuyorlar: Önce Ahmet kendi isteğine göre seçtiği $3$ parçayı boyar. Sonra Betül, boyanmamış parçalardan herhangi $3$ tanesini boyar. Daha sonra Ahmet boyanmamış $3$ parçayı boyar ve oyun bu şekilde devam eder. En sonda kalan boyanmamış $2$ parça komşu değilse Ahmet kazanır, komşu ise Betül kazanır. Doğru stratejiyi uyguladığı takdirde hangi oyuncu oyunu kesinlikle kazanır?

Köşe noktası $O$ olan bir açı ve bu açının ışınlarına $A$ ve $B$ noktalarında teğet olan bir çember verilmiştir. $A$ noktasından $[OB$ ışınına paralel olan doğrunun bu çember ile kesiştiği noktaya $C$ diyelim. $[OC]$ doğru parçasının çemberle kesiştiği diğer nokta $E$ olsun. $[AE$ ve $[OB$ ışınlarının kesişim noktasına $K$ denirse $|OK|=|KB|$ olduğunu gösteriniz.

Dikdörtgen şeklindeki karton levha makasla $2$ parçaya bölünüyor. Parçalardan biri alınarak tekrar $2$ parçaya bölünüyor. Sonra $3$ parçadan biri alınarak yine $2$ parçaya bölünüyor ve bu işlem bu şekilde sürdürülüyor. Belirli bir anda ortaya çıkan parçalar içinde tam $77$ tane $29$-genin bulunması için, makasın en az $2001$ kez kullanılması gerektiğini ispatlayınız.