Rakamları birbirinden farklı ve birbirinin ters sırada yazılışı olan iki tane üç basamaklı sayının toplamı olarak yazılabilen sayılara Gizemli Sayı diyelim. Kaç tane Gizemli Sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 142  \qquad\textbf{b)}\ 120  \qquad\textbf{c)}\ 162  \qquad\textbf{d)}\ 153  \qquad\textbf{e)}\ 136$

$\dfrac{13^n+2}{3}$  ifadesinin tamkare olmasını sağlayan kaç $n$  pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

$x^5+5y^5=z^6$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

$|AB|=15,\ |BC|=18$  ve $|CA|=21$  olan $ABC$  üçgeninin iç bölgesinden bir $D$ noktası alınıyor. $[AD],\ [BD]$ ve $[CD]$'nin orta noktaları sırasıyla $E,\ F$ ve $G$  olsun. $[AF]$ ile $[BE]$'nin kesişimi $H;\ [BG]$ ile $[CF]$'nin kesişimi $K$ ve $[CE]$ ile $[AG]$'nin kesişimi de $L$ ise $EHFKGL$ altıgeninin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 20\sqrt6  \qquad\textbf{b)}\ 18\sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 21\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 15\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt6$

Her $x,y \neq 0$ için$,$

$x[f(xy)-f(x)]+f(-y)=0$  ve  $f(2)=3$

eşitliklerini sağlayan $f$ fonksiyonu için $f\left( \dfrac{1}{10}\right)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 24$

$15$ özdeş matematik ve $5$ özdeş fizik kitabı, herhangi iki fizik kitabı arasında en az iki matematik kitabı olması koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

$\textbf{a)}\ 792  \qquad\textbf{b)}\ 796  \qquad\textbf{c)}\ 812  \qquad\textbf{d)}\ 714  \qquad\textbf{e)}\ 786$

$S=1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2+7^2+8^2-9^2-10^2+ \cdots +101^2+102^2+103^2-104^2-105^2$

toplamının $25$'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$f(x)=(x^2-x-5)(x^2+2)(x^2+5x+3)$  fonksiyonunun grafiği üzerinden$,$ bir parabol üzerinde olacak biçimde altı tane nokta seçilirse$,$ bu noktaların apsislerinin kareleri toplamı kaç olur?

$($Parabol$,\ y=ax^2+bx+c,$ $a \neq 0$ formundaki eğrinin grafiğidir.$)$

$\textbf{a)}\ 23  \qquad\textbf{b)}\ 27  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 29$

$x^3-3x^2+6x+13=0$  ve  $y^3+6y^2+15y+31=0$  denklemlerini sağlayan $x$  ve $y$  reel sayıları için $x-y$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 3$

Kenar uzunlukları $2\sqrt2$  ve  $7\sqrt2$  olan bir $ABCD$  dikdörtgeninin çevresine, şekildeki gibi $KLMN$ dikdörtgeni çiziliyor.
$KLMN$ dikdörtgeninin alanı kaç farklı tamkare değeri olabilir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 1$

$x$  bir reel sayı ve

                $A(x)=(x+2)^5+(x+2)^3(x-2)^2+(x+2)(x-2)^4$
                $B(x)=(2-x)^5+(2-x)^3(2+x)^2+(2-x)(2+x)^4$

olmak üzere$,\ A(x)=B(x)$  denkleminin çözüm sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$A=\{1,2,3,...,18,19\}$  ve $B=\{8,14,18\}$  olmak üzere $A \setminus B$  kümesinin elemanlarıyla$,$ ardışık iki sayı içermeyen kaç alt küme oluşturulabilir?

$\textbf{a)}\ 2380  \qquad\textbf{b)}\ 3640  \qquad\textbf{c)}\ 4420  \qquad\textbf{d)}\ 3960  \qquad\textbf{e)}\ 4230$

$5 \times 5$ şeklindeki bir karenin$,$ her $1 \times 1$ karesinin içine $1,2,4,6,8$ rakamları yazılacaktır. Çift olan herhangi bir rakamın yan yana ve çift sayıda bulunması koşuluyla$,\ 5 \times 5$ karesi kaç farklı şekilde doldurulabilir?

$($Çift olan herhangi bir rakamın yukarıdan aşağıya çift sayıda olması gerekmiyor. Üst tarafta bir örnek doldurma verilmiştir.$)$

$\textbf{a)}\ 65^5  \qquad\textbf{b)}\ 29^5  \qquad\textbf{c)}\ 45^5  \qquad\textbf{d)}\ 6^{10}  \qquad\textbf{e)}\ 5 \cdot 29^5$

$S=\{1,2,3,...,999,1000\}$  kümesindeki sayılardan kaç tanesi  $n=7^{999!}-5^{999!}$  farkını böler?

$\textbf{a)}\ 518  \qquad\textbf{b)}\ 624  \qquad\textbf{c)}\ 686  \qquad\textbf{d)}\ 720  \qquad\textbf{e)}\ 735$

$a,b,c$ birbirinden farklı negatif olmayan tam sayılar olmak üzere$,\ 3^a+3^b+3^c$  formundaki sayıları$,$ küçükten büyüğe doğru sıralarsak$,\ 101$'inci sayı için $a+b+c$ toplamı kaç olur?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 17  \qquad\textbf{c)}\ 19  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 15$

$S=\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{9} \left( \biggl \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^k} \biggr \rfloor + \biggl \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{20-k}} \biggr \rfloor \right)$  toplamının $9$'a bölümünden kalan kaçtır?

$($Burada$,$ $\lfloor x \rfloor$ ifadesi$,$  $x$ sayısının tamdeğerini göstermektedir.$)$

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 0  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 3$

$a_1,a_2,a_3,...$  pozitif sayıları$,$  her $n \in \mathbb N$ için$,\ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+1}$  eşitliğini sağlasın. Eğer$,\ a_{2k}=3 \cdot a_k$  eşitliği sağlanacak şekilde bir $k \in \mathbb N$  değeri bulunuyorsa$,\ a_{11}$  değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5\sqrt2}{4}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9\sqrt2}{4}$

Pascal üçgeninin "Şehrazad Satırı" diye adlandırdığımız$,$

                                     $1,1001,...,1001,1$

şeklindeki$,\ 1001$'inci satırındaki sayıların kaç tanesi $5$'e bölünmez?

$\textbf{a)}\ 48  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 36  \qquad\textbf{e)}\ 30$

$ABCD$ kirişler dörtgeninde$,\ [AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olsun. $|AB|=|BC|=|CA|,\ |BE|=20$ ve $|ED|=5$ olduğuna göre$,\ |AB|$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 13\sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ 9\sqrt5  \qquad\textbf{c)}\ 10\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt5  \qquad\textbf{e)}\ 11\sqrt5$

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde$,\ m(\widehat{BAC})=40^{\circ},\ m(\widehat{ABD})=m(\widehat{CBD})=20^{\circ}$ ve $m(\widehat{CAD})=100^{\circ}$ olduğuna göre $m(\widehat{BDC})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 18^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 15^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 12^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 10^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 5^{\circ}$

$f(x)=x^4+3x^3+4x^2-5$  ve  $g(x)=x^4-x^3-4x^2+5$  olmak üzere$,\ 0<x \leq p$  koşulunu sağlayan bir $x$ tam sayısı için$,\ p$ asal sayısı $f(x)$ ve $g(x)$'i bölmektedir. Buna göre$,\ p$ asal sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 19$

Tüm terimleri tam sayılar olan ve ilk $10$ terim içinde $1$ ve $31$ bulunan kaç farklı aritmetik dizi vardır?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 66  \qquad\textbf{c)}\ 68  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 50$

$m^4=n(9m-2n)$  denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 7$

$f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$  fonksiyonu kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere$,$ her $x \in \mathbb{R^+}$ için$,$

                                   $f(x) \cdot f\left( f(x) + \dfrac{3}{2x} \right) = \dfrac{1}{4}$

olduğuna göre$,\ f(9)=?$

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac16  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac14$

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC})=50^{\circ},\ |AB|=7$  ve $|AC|=3\sqrt3$'tür. $D,\ [AB]$ üzerinde$,\ E$  ise $[AC]$ üzerinde noktalar olmak üzere$,\ |BE|+|CD|+|DE|$  toplamının alabileceği minimum değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{140}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{135}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{139}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{136}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{142}$