Tüm $x,y$ reel sayıları için $x\star y = \dfrac{x+y}{1+xy}$ olarak tanımlayalım.
$$( \cdots (((2 \star 3) \star 4) \star 5) \star \cdots ) \star 1995$$
işleminin sonucunu hesaplayınız.

$\mathcal C_1(O_1, r_1)$ ve $\mathcal C_2(O_2, r_2),\ r_2>r_1$ çemberleri, $m(\widehat{O_1AO_2})=90^{\circ}$ olacak şekilde $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. $O_1O_2$ doğrusu $\mathcal C_1$'i $C$ ve $D$ noktalarında, $\mathcal C_2$'yi ise $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor ($C,E,D,F$ sırasıyla). $BE$ doğrusu $\mathcal C_1$'i $K$ noktasında, $AC$'yi $M$ noktasında kesiyor. $BD$ doğrusu $\mathcal C_2$'yi $L$ noktasında, $AF$'yi $N$ noktasında kesiyor.
$$\dfrac{ r_2}{r_1} = \dfrac{KE}{KM} \cdot \dfrac{LN}{LD}$$
olduğunu ispatlayınız.

$a$ ve $b,\ a>b$ ve $2 \mid a+b$ şartlarını sağlayan doğal sayılar olsun.
$$x^2-(a^2-a+1)(x-b^2-1)-(b^2+1)^2=0$$
denkleminin köklerinin tamkare olmayan doğal sayılar olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı ve $x, y \in \{1, 2, \ldots , n\}$ olmak üzere $\mathcal S$ ile $(x, y)$ noktalarının kümesini gösterelim. $\mathcal T$ kümesi, köşeleri $\mathcal S$ kümesindeki noktalardan oluşan tüm karelerin kümesi olsun. $a_k$ ($k \geq 0$) ile aşağıdaki özelliği sağlayan sıralı olmayan nokta çiftlerinin sayısını gösterelim:
$\quad \mathcal T$ kümesinde bu iki noktayı köşe olarak alan tam olarak $k$ kare vardır.
$a_0 = a_2 + 2a_3$ eşitliğini kanıtlayınız.