$11ab \leq a^3-b^3 \leq 12ab$

koşullarını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H,\ A$ köşesinden inilen dikmenin ayağı $D \in [BC]$ olmak üzere$,\ |AH|=|HD|$ dir. $H$ noktasından geçen ve $BHC$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olan doğru $\ell$ olsun. $\ell$ ile $[AB]$ ve $[AC]$ nin kesişim noktaları sırasıyla $S$ ve $T$ olsun. $[BH]$ ve $[CH]$ nin orta noktaları sırasıyla $M$ ve $N$ olsun. $SM$ ve $TN$ doğrularının paralel olduğunu gösteriniz.

$p$ ve $q$ asal sayılar$,\ a>1$ olmak üzere$,$

                                       $p^a=1+5q^b$

eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,a,b)$ pozitif tam sayı dörtlülerini bulunuz.

$\{1,2,...,n\}$ kümesi$,$ her biri iki elemandan oluşan ve elemanlarının toplamı $3$'ün kuvveti olan $\frac{n}{2}$ tane alt kümeye parçalanabiliyorsa$,\ n$ pozitif çift tam sayısına $\textit{güzel}$ diyelim. Örneğin$,\ \{1,2,3,4,5,6\}$ kümesi$,\ \{1,2\}, \{3,6\}, \{4,5\}$ alt kümelerine parçalanabildiği için $6$ güzel sayıdır. $3^{2022}$ den küçük olan güzel pozitif tam sayıların kaç tane olduğunu belirleyiniz.