Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2021
1
$2021$ sayısı fantastiktir. Bir $m$ pozitif tam sayısı için $\{m,2m+1,3m\}$ kümesinin herhangi bir elemanı fantastik ise bu kümenin tüm elemanları fantastiktir. Buna göre$,$ $2021^{2021}$ sayısının fantastik olduğu sonucuna varabilir miyiz?
2
Tüm rasyonel $x$ ve $y$ sayıları için
$f\big(xf(x)+y\big)=f(y)+x^2$
eşitliğini sağlayan tüm $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$ fonksiyonlarını bulunuz.
Burada $\mathbb Q$ tüm rasyonel sayıların kümesidir.
3
Bir $ABC$ üçgeninin $A$ açısı geniş açıdır. $A$ açısının dış açıortayı$,$ $ABC$ üçgeninde $B$ ve $C$ köşelerinden indirilen yükseklikleri sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $[EC]$ ve $[FB]$ doğru parçaları üzerinde sırasıyla $M$ ve $N$ noktaları$,$ $\angle{EMA}=\angle{BCA}$ ve $\angle{ANF}=\angle{ABC}$ olacak şekilde seçiliyor. $E,F,N,M$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.
4
Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve $[BC]$ kenarı üzerinde alınan bir nokta $D$ olsun. $D$ noktasından geçen ve $BI$ doğrusuna dik olan doğru $CI$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $D$ noktasından geçen ve $CI$ doğrusuna dik olan doğru $BI$ doğrusunu $F$ noktasında kesiyor. $A$ noktasının $EF$ doğrusuna göre simetriğinin $BC$ doğrusu üzerinde bulunduğunu gösteriniz.
5
Bir düzlemdeki bir $O$ noktası orijin olarak tanımlanmıştır. Bu düzlemdeki $2021$ noktadan oluşan bir $P$ kümesinde
(i) $P$ nin herhangi üç noktası aynı doğru üzerinde değildir.
(ii) $P$ nin herhangi iki noktası orijinden geçen bir doğru üzerinde değildir.
$O$ noktası$,$ köşeleri $P$ kümesinin elemanları olan bir üçgenin iç bölgesindeyse$,$ bu üçgene şişman üçgen diyelim. Şişman üçgen sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.
6
$m$ ve $n$ pozitif tam sayıları olmak üzere$,$
$ \left \lfloor \dfrac{m}{1} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{m}{2} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{m}{3} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \dfrac{m}{m} \right \rfloor =n^2+a$
denkleminin bir $a$ negatif olmayan tam sayısı için bir milyondan fazla farklı $(m,n)$ çözümü olabilir mi?
$x$ bir gerçel sayı olmak üzere$,$ $\lfloor x \rfloor$ ile $x$ den büyük olmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz. Buna göre$,$ $\lfloor \sqrt2 \rfloor = 1,\ \lfloor \pi \rfloor = \lfloor 22/7 \rfloor =3,\ \lfloor 42 \rfloor = 42$ ve $\lfloor 0 \rfloor =0$