$a, b, c$ farklı gerçel sayılar olmak üzere
$$a^3 + ax + y = 0, \quad b^3 + bx + y = 0, \quad c^3 + cx + y = 0 $$
olacak şekilde $x, y$ gerçel sayıları vardır. $a+b+c=0$ olduğunu gösteriniz.

Negatif olmayan her $n$ tam sayısı için $A_n=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$  olarak tanımlayalım.

$A_0,A_1,...,A_{1999}$ sayılarının en büyük ortak bölenini bulunuz.

$S$, kenar uzunluğu $20$ olan bir kare olsun. $S$'nin dört köşesi ve içindeki $1999$ tane keyfi nokta ile oluşturulan kümeye $M$ diyelim. Köşeleri $M$ kümesinde bulunan ve alanı en fazla $\dfrac{1}{10}$ olan bir üçgenin varlığını kanıtlayınız.

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeni verilmiştir. $D$, $BC$ üzerinde $BC>BD>DC>0$ olacak şekilde rastgele bir nokta olsun. $k_1$ ve $k_2$ sırasıyla $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin çevrel çemberleri olsun. $k_1$ çemberinin çapı $[BB']$, $k_2$ çemberinin çapı $[CC']$ ve $[B'C']$ doğru parçasının orta noktası $M$ olsun. $MBC$ üçgeninin alanının sabit olduğunu yani $D$ noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlayınız.