Tübitak Lise Takım Seçme - 2018 Çözümleri

1

Her $a, b$ tam sayısı için $n^2 + an + b$ sayısının en az $2018$ farklı pozitif böleni olacak şekilde bir $n$ pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz.

2

Her $x, y$ gerçel sayıları için $$f(xf(y)+y^2)=f((x+y)^2)-xf(x)$$ koşulunu sağlayan tüm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ örten fonksiyonları bulunuz.

3

Bir emekli dil bilimci (E.D.B.), ilk hamlede tamamen farklı $n$ harften oluşan bir kelime yazar. Her hamlede, son kelimenin ilk $i$ harfini ters çevirerek elde edilen kelimenin daha önce yazılmamış olduğu durumu kontrol eder ve bu yeni kelimeyi yazar. E.D.B.'nin $n!$ hamle yapabileceğini kanıtlayınız.

4

Dar açılı çeşitkenar $ABC$ üçgeninde, $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ dir. $E$ ve $F$ sırasıyla, $[AC]$ ve $[AB]$ üzerinde noktalar olmak üzere; $CDE$ ve $AEF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $[AD]$ üzerindeki $P$ noktasında kesişmektedir. $EFP$ üçgeninin $P$ deki açıortayı, $EF$ yi $Q$ noktasında kesiyor. $AQP$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğrunun $BC$ ye dik olduğunu kanıtlayın.

Çözüm:

$\angle ACD = \angle APE = \angle AFE$ dir. Bu durumda $BCEF$ bir kirişler dörtgenidir.
$\angle ABC = \angle AEF = \angle FPA$ dir. Bu durumda $BFPD$ de bir kirişler dörtgenidir.

Benzerlikleri yazarsak, ($\triangle AFP \sim \triangle ADB$ ve $\triangle AEP \sim \triangle ADC$), $$\dfrac{AF}{AD} = \dfrac{FP}{DB} \quad \text{ve} \quad \dfrac {AE}{AD} = \dfrac {PE}{CD} \tag{1}$$ elde ederiz. Eşitlikleri taraf tarafa oranlarsak $$\dfrac {AF}{AE} = \dfrac {FP}{PE} \tag{2}$$ olur. Açıortay teoreminden $\dfrac{FP}{PE} = \dfrac {FQ}{QE}$ olduğu için $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac {FQ}{QE}$, dolayısıyla $AQ$ da $\angle FAE$ nin açıortayıdır.

$\triangle AQP$ nin çevrel çemberine $A$ da teğet olan doğru $BC$ yi $H$ de kessin. $AH$ nin $\triangle ABC$ nin yüksekliği olduğunu göstermemiz isteniyor.
Teğet-Kiriş açıdan $\angle PAQ = \angle QAH$ dir.
$\angle ABC = \angle FPA = \beta$ ve $\angle ACB = \angle APE = \theta$ dersek, $\angle FPA = |\theta - \beta|$ olacaktır.

$\angle FAQ = \angle QAE = \dfrac {180^\circ - 2\beta - 2\theta}2 = 90 - \beta - \theta$.

$\angle C > \angle B$ ise $\angle HAE = \angle QAE - \angle QAH = 90^\circ - \beta - \theta - (\theta - \beta) = 90^\circ - 2\theta = 90^\circ - \angle ACB$, dolayısıyla $AH \perp BC$ olur.

$\angle B > \angle C$ ise $\angle HAE = \angle QAE + \angle QAH = 90^\circ - \beta - \theta + (\beta - \theta) = 90^\circ - 2\theta = 90^\circ - \angle ACB$, dolayısıyla $AH \perp BC$ olur.

Not: Teknik terimlerle biraz kafa karıştıralım:
$AD$, $\triangle ABC$ de bir kenarortay olduğu için $\triangle AEF$ de bir kenarortaysıdır. Kenarortaysının çevrel çemberi kestiği nokta (burada $P$ oluyor) için $\dfrac {AF}{AE} = \dfrac {FP}{PE}$ eşitliğini göstermiş olduk. $(PAQ)$ çevrel çemberinin $A$ noktasındaki teğetinin $(AFE)$ çevrel çemberinin merkezinden geçtiğini göstermiş oldu. $\triangle AFE$ de, merkezden geçen doğru, $\triangle ACB$ de yükseklik olacaktır. (İzogonal Eşlenikler).

5

$25$ öğrenciden oluşan bir gruptaki herhangi iki öğrenci arkadaşsa, bu gruba takım diyelim. Bir okuldaki herhangi bir öğrencinin en az bir takıma ait olduğu bilinmektedir, ancak herhangi iki öğrenci arkadaşlıklarını sonlandırırsa en az bir öğrenci hiçbir takıma dahil değildir. Bir takımdaki en az bir öğrencinin takım dışında hiç arkadaşı yoksa bu takıma özel diyelim. Herhangi iki arkadaşın mutlaka bir özel takıma dahil olduğunu gösteriniz.

6

$a_0, a_1, \ldots, a_{100}$ ve $b_1, b_2,\ldots, b_{100}$ gerçel sayılar dizileri her $n=0, 1, \ldots, 99$ için, ya
$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2} \quad \text{ve} \quad b_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n,$$ ya da $$a_{n+1}=2a_n^2 \quad \text{ve} \quad b_{n+1}=a_n$$ özelliğini sağlar.
$a_{100}\leq a_0$ ise, $b_1+b_2+\cdots+b_{100}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

7

$a, b$ tam sayıları için, $\text{obeb}(a,b)=1$ ise $(a,b)$ koordinatlarına sahip olan noktaya temel diyelim. Köşeleri temel noktalardan oluşan bir çizgenin kenarları şu şekilde çiziliyor:
$(a_1,b_1)$ ve $(a_2,b_2)$ arasında bir kenar olması için gerek ve yeter koşul, $(2a_1=2a_2\in \{b_1-b_2, b_2-b_1\}$ veya $2b_1=2b_2\in\{a_1-a_2, a_2-a_1\})$ dir.
Geriye kalan çizge bir orman olacak şekilde çizgenin bazı kenarları siliniyor. En az kaç kenar silinmelidir ki bu orman elde edilsin? Böyle bir ormanda en az kaç ağaç vardır?

8

$m\geq 3$, $n$ ve $x_1,x_2, \ldots , x_m$ tam sayılar olmak üzere; her $2\leq i \leq m-1$ sayısı için $x_{i+1}-x_i \equiv x_i-x_{i-1} \pmod{n} $ ise, $(x_1,x_2,\ldots , x_m)$ $m$-lisine $\bmod n$ de bir aritmetik dizi diyelim. $p\geq 5$ asal bir sayı ve $1<a<p-1$ bir tamsayı olsun. $a$ nın pozitif üslerinin $p$ ye bölünmesi sonucu elde edilen kalanların kümesi ${a_1,a_2,\ldots , a_k}$ olsun. ${a_1,a_2,\ldots , a_k}$ kümesinin bir permütasyonu $(\text{mod } p)$ üzerinde bir aritmetik dizi ise, $k=p-1$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$a$'nın mertebesi $d$ olsun. $a\neq 1,p-1$ olduğundan $d>2$'dir. $a$'nın kuvvetlerinin oluşturduğu farklı kalanlar kümesi $1,a,a^2,\dots,a^{d-1}$ olduğundan $k=d$'dir. Genelliği bozmadan $a_1,a_2,\dots, a_k$ sırasının aritmetik diziyi oluşturan sıra olduğunu varsayabiliriz. Dolayısıyla, $m$ ortak fark ve "$\equiv$" ile $p$ modundaki denkliği göstermek üzere, $a_i\equiv a_1+(i-1)m$ olacaktır. Bu sayıları toplarsak, $$\sum_{i=1}^{k}a_i\equiv ka_1+m\sum_{i=1}^{k}(i-1)\equiv ka_1+\frac{mk(k-1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{k}a_i\equiv\sum_{n=0}^{k-1}a^n\equiv \frac{a^k-1}{a-1}\equiv 0$$ olacaktır. $k\mid p-1$ olduğundan $(k,p)=1$'dir. Dolayısıyla, $$a_1+\frac{m(k-1)}{2}\equiv 0\implies a_1\equiv -\frac{m(k-1)}{2}$$ bulunur. Terimler $$\frac{-m(k-1)}{2},-\frac{m(k-3)}{2},\dots,\frac{m(k-1)}{2}$$ olur. Bu sayıların kareleri toplamı $k$'nın tek veya çift olması durumunda ayrı ayrı incelesek bile, $$\sum_{i=1}^{k}a_i^2\equiv \frac{m^2k(k-1)(k+1)}{12}$$ $$\sum_{i=1}^{k}a_i^2\equiv \sum_{n=0}^{k-1}a^{2n}\equiv \frac{a^{2k}-1}{a^2-1}\equiv 0$$ bulunur. $p\geq 5$ ve $(k,p)=1$ olduğundan $$m^2(k-1)(k+1)\equiv 0\pmod{p}$$ elde edilir.

Eğer $p\mid m$ ise $a_i$ terimlerinin hepsi $p$ modunda aynı olurdu, çelişki.

Eğer $p\mid k-1$ ise $k\geq 3$ olduğundan $k-1\geq p$ olurdu ancak bu da $p-1\geq k$ olması ile çelişir.

Dolayısıyla $p\mid k+1$ olmalıdır. Buradan $k+1\geq p$ bulunur. Ayrıca $k\mid p-1$ olduğundan $p\geq k+1$'dir. Buradan $\boxed{k=p-1}$ bulunur. Gerçekten de $a$'yı ilkel kök alırsak, ortak fark $1$ olan, $p-1$ uzunluğunda bir aritmetik dizi elde ederiz.

9

Bir $T$ üçgeni ve bir $d$ doğrusu için, düzlemde bir noktadan $T$ nin kenarlarına çizilen dikmelerin ayaklarının hepsi $d$ üzerindeyse, bu durumda $d$, $T$ yi odaklar deriz. $T_1$ i odaklayan doğrular kümesi ile $T_2$ yi odaklayan doğrular kümesi aynıysa, bu durumda $T_1$ ve $T_2$ denktir diyelim. Herhangi bir üçgen için, düzlemde ona denk olan tam olarak bir eşkenar üçgen olduğunu kanıtlayınız.