Tübitak Lise Takım Seçme 2018 Soru 6

[geo]

$a_0, a_1, \ldots, a_{100}$ ve $b_1, b_2,\ldots, b_{100}$ gerçel sayılar dizileri her $n=0, 1, \ldots, 99$ için, ya
$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2} \quad \text{ve} \quad b_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n,$$ ya da $$a_{n+1}=2a_n^2 \quad \text{ve} \quad b_{n+1}=a_n$$ özelliğini sağlar.
$a_{100}\leq a_0$ ise, $b_1+b_2+\cdots+b_{100}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?