$m, n$ pozitif tam sayı ve $p$ asal sayı olmak üzere; $$(m^3+n)(n^3+m)=p^3$$ ifadesini sağlayan tüm $(m,n,p)$ üçlülerini bulunuz.

Bir ülkedeki $2017$ şehir arasında, herhangi iki şehirden birbirine ulaşmanın mümkün olduğu karşılıklı seferler düzenleniyor. Seferler nasıl düzenlenirse düzenlensin, her şehirden en az bir "özel şehre" doğrudan sefer olacak şekilde $k$ "özel şehir" bulmak mümkündür. $k$ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$ABC$ üçgeninde $BC, AC, AB$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D, E, F$ olup üçgenin iç teğet çemberi bu kenarlara sırasıyla $G, H, I$ noktalarında dokunmaktadır. $AD$ kenarının orta noktası $J$ olsun. $BJ$ ve $AG$ doğruları $K$ noktasında kesişsin. $A$ noktasından geçen ve $C$ merkezli çember $[CB$ ışınını $X$ noktasında kesiyor. $K$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru ile $AX$ doğrusu $U$ noktasında kesişiyor. $IU$ ve $BC$ doğruları $P$ noktasında kesişsin. $PY$ doğrusu iç teğet çembere $Y$ noktasında teğettir. $D, E, F, Y$ noktalarının çemberdeş olduğunu kanıtlayınız.

Bir etkinliğe katılan $n$ öğrenciden hiçbiri aynı yaşta değildir. Her öğrencinin en az bir öğrenci ile el sıkıştığı ve bu öğrencinin diğerlerinden küçük yaşta olan hiçbir öğrenci ile el sıkışmadığı bilinmektedir. $n$'nin alabileceği tüm olası değerleri bulunuz.

$a,b,c$ reel sayılar ve $a+b+c=3$ sağlanıyorsa

$$a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca)$$

olduğunu gösteriniz.

$$\dfrac{4m^2n^2-1}{(m^2-n^2)^2}$$

ifadesini tam sayı yapan farklı $(m,n)$ pozitif tamsayı ikilisinin bulunmayacağını gösteriniz.

$a$ gerçel bir sayı olmak üzere; her $x, y\in \mathbb{R}$ için $f(xy+f(y))=f(x)y+a$ eşitliğini sağlayan $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonlarının sayısını $a$ ya bağlı olarak bulunuz.

$ABC$ üçgeninde, $B$ ve $C$ noktalarından geçen açıortaylar sırasıyla $\left [ AC \right ]$ ve $\left [ AB \right ]$ kenarlarını $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $I_{c}$, $\left [ AB \right ]$ kenarına teğet olan dış teğet çemberin merkezi olsun ve $F$ $\left [ BI_{c} \right ]$ nin orta noktası olsun. $\left | CF \right |^2=\left | CE \right |^2+\left | DF \right |^2$ ise, $ABC$ üçgeninin eşkenar üçgen olduğunu gösteriniz.

$S$, düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan ve herhangi dördü çemberdeş olmayan sonlu sayıdaki nokta kümesi olsun. Bütün kırmızı noktaları içeren ve hiçbir beyaz noktayı içermeyen bir çember varsa, $S$ kümesinin bütün noktaları için yapılan kırmızı ve beyaz renklendirmeye ayrık renklendirme diyelim. Her bir $S$ kümesi için ayrık renklendirmelerin sayısını belirleyiniz.