Geomania.Org Forumları

$(1,2,\dots, 2014)$ $2014$-lüsünün, her $1\leq i < j \leq 2014$ için, $i+a_i \leq j + a_j$ koşulunu sağlayan $(a_1, a_2, \dots, a_{2014})$ permütasyonlarının sayısını belirleyiniz.

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için, $$f( f(y) + x^2 + 1) + 2x = y + \left ( f(x+1) \right )^2 $$ koşulunu sağlayan bütün $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

$|AC| > |AB|$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ noktası ve yarıçapı $r$, çevrel çemberinin merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $R$, $[BC]$ kenarına ait dış teğet çemberinin merkezi $J_A$ ve yarıçapı $r_a$ dır. İç teğet çemberin $[BC]$ kenarına değme noktası $D$ olmak üzere, $B$ ile $D$ arasında yer alan bir $E$ noktası $$ \text{Alan}(IEJ_A) = 2 \cdot \text{Alan}(IEO)$$ koşulunu sağlıyorsa, $$ |ED|=|AC|-|AB| \Leftrightarrow R = 2r + r_a $$ olduğunu gösteriniz.

$n \mid 3m + 1$ ve $m \mid n^2+3$ koşullarını sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tek sayı ikililerini bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktasını merkez alan bir çember $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarını sırasıyla, $A_1$ ve $A_2$, $B_1$ ve $B_2$, $C_1$ ve $C_2$ noktalarında kesiyor. $A_1$, $A_2$, $P$ noktalarından geçen çemberin merkezi $A'$ noktası; $B_1$, $B_2$, $P$ noktalarından geçen çemberin merkezi $B'$ noktası; $C_1$, $C_2$, $P$ noktalarından geçen çemberin merkezi de $C'$ noktası olmak üzere, $AA'$, $BB'$, $CC'$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

$a^2+b^2+c^2=1$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ negatif olmayan gerçel sayıları için, $$\sqrt {a+b} + \sqrt {b+c} + \sqrt {c+a} \geq 5abc + 2$$ olduğunu kanıtlayınız.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin içinde yer alan bir $P$ noktası $m(\widehat{PAC})=m(\widehat{PCB})$ koşulunu sağlıyor. $[PC]$ doğru parçasının orta noktası $D$ ve $AP$ doğrusu ile $BC$ doğrusunun kesişim noktası $E$ olmak üzere, $BP$ ve $DE$ doğruları $Q$ noktasında kesişiyor. $m(\widehat{BCQ}) + m(\widehat{BAP}) = 180^\circ$ olduğunu kanıtlayınız.

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisi, $a_1 = -5$, $a_2 = -6$ ve $n \geq 2$ için, $$a_{n+1} = a_n + (a_1 + 1)(2a_2 + 1)(3a_3 + 1) \cdots ((n-1)a_{n-1}+1)((n^2+n)a_n + 2n + 1)$$ koşullarını sağlasın. Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $p$ asal sayısı $na_n + 1$ tam sayısını bölüyorsa, $m^2 \equiv 5 \pmod p$ denkliğini sağlayan bir $m$ tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.

Başlangıçta $2014 \times 2014$ bir satranç tahtasının sol alt köşesindeki birim karede bulunan yeşil tırtıllardan her biri herhangi bir anda bulunduğu birim karenin sağındaki veya üstündeki birim kareye, başlangıçta bu tahtanın sol üst birim karesinde bulunan kahverengi tırtıllardan her biri de herhangi bir anda bulunduğu birim karenin sağındaki veya altındaki birim kareye geçebiliyor. Tüm tırtıllar yolculuklarını tamamladıklarında tahtanın her birim karesinden en az bir tırtılın geçmiş olduğu gözleniyorsa, tahtadaki toplam tırtıl sayısının en az kaç olabileceğini belirleyiniz.