İlk olarak $2014$ sayısını nereye yerleştireceğimize bakalım;
$a_1=2014$ olsun. Bu durumda $a_1+1=2014+1=2015$ olur.
$2015 \le a_2+2$ $2013 \le a_2$ $a_1=2014$ olduğundan $\Longrightarrow a_2=2013$.
Aynı şekilde; $2015 \le a_3+3$ $2012 \le a_3$ $a_1=2014$ ve $a_2=2013$ olduğundan$\Longrightarrow a_3=2012$.
Bu şekilde $a_{2014}$'e kadar gidersek $(2014,2013,2012...2,1)$ permütasyonu elde edilir.
Şimdi en büyük sayıdan (Bu durumda $2014$) sonraki sıralamanın belirli olduğunu gösterelim:
$a_n=2014$ olsun.
$2014+n \le a_{n+1}+n+1$ $2013 \le a_{n+1}$ $\Longrightarrow a_{n+1}=2013$
Bu yukarıdaki gibi permütasyonun sonuna kadar gider ve $(\dots, 2014,2013,2012, \dots ,n+1,n)$ şeklinde olur (bütün permütasyonlarda).
Şimdi n'den önceki sayıları sıralayalım ve sonuna az önceki permütasyonu ekleyelim. Yani $(1,2,3, ... ,n-1)$'in permütasyonlarını bulalım.
Bunun için de $n-1$ sayısını yerleştirelim. Az önce gösterdiğimiz gibi $n-1$'den sonraki sayıların sıralaması belirlidir.
$a_{n_1}=n-1$ olsun. O zaman permütasyon $(\dots , n-1 , n-2 , n-3 , \dots , a_{n_1} )$ şeklinde olur.
Bu durumda yine kalan sayıları sıralarız ve bu şekilde giderek sonlu hamle sonra bir grubu sıralamayı bıraktığımızda permütasyonumuz oluşur.
$\mathbf X$ hamle sonunda kalan sayıların en büyüğünü $n_x$ ile gösterelim.Permütasyonların genel şekli $$n_{k} \le n_{k-1} \le n_{k-2} \le ... \le n_{0}$$ olacak şekilde aşağıdaki gibidir: $$(n_{k} , n_{k}-1 , \dots , 1 , n_{k-1} , n_{k-1}-1 , n_{k-1}-2 , \dots , n_{k}+1 , \dots , n_{0} , n_{0}-1 , n_{0}-2 , \dots , n_{1}+1)$$
Örnek durum $n_{0}=2014 , n_{1}=35 , n_{2}=3$ olacak şekilde $(3 , 2 , 1 , 35 , 34 , \dots , 5 , 4 , 2014 , 2013 , \dots , 37 , 36)$'dır.
Bu sıralamayı $(n_k , n_{k-1} , n_{k-2} , \dots, n_{0})$ sayılarının ne olduğu belirler. $n_0=2014$ olduğu barizdir. Biz kalanları kaç farklı şekilde seçebileceğimizii nceleyelim:
$k=2013$ için kalan sayıları $\dbinom{2013}{2013}$ şekilde,
$k=2012$ için kalan sayıları $\dbinom{2013}{2012}$ şekilde,
Bu şekilde giderek,
$k=1$ için kalan sayıları $\dbinom{2013}{1}$ şekilde,
$k=0$ için kalan sayılırı $\dbinom{2013}{0}$ şekilde seçeriz.
Hepsini toplarsak $\sum_{i=0}^{2013} \dbinom{2013}{i}=2^{2013}$ permütasyonların sayısını elde ederiz.
Cevap: $2^{2013}$
