Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1975 Çözümleri
« 1974 1976 »
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1975 Çözümleri

1
$x_i,y_i$ ($i=1,2,\dots, n$)
$$x_1 \geq x_2 \geq \dots \geq x_n \text{ ve } y_1 \geq y_2 \geq \dots \geq y_n$$ olacak şekilde gerçel sayılar olsun. $y_1, y_2, \dots, y_n$ nin herhangi bir permütasyonu $z_1,z_2, \dots, z_n $ ise, $$\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2 \leq \sum\limits_{i=1}^n(x_i-z_i)^2 $$ olduğunu kanıtlayınız.
2
$a_1, a_2, a_3, \dots$; pozitif tam sayıların artan sonsuz bir dizisi olsun. $x,y$ pozitif tam sayılar ve $q>p$ olmak üzere; her $p\geq 1$ için $$a_m = xa_p + ya_q$$ şeklinde yazılabilen sonsuz çoklukta $a_m$ sayısının bulunduğu kanıtlayınız.
3
Keyfi bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde, üçgenin dışına doğru, $\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ$, $\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ$, $\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ$ olacak şekilde $ABR$, $BCP$ ve $CAQ$ üçgenleri çiziliyor. $\angle QRP = 90^\circ$ ve $QR= RP$ olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$\triangle RAQ$ üçgenini $\triangle RBQ' \cong \triangle RAQ$ olacak şekilde, $BR$ üzerine şeklin dışına doğru yapıştıralım.
$\angle Q'RB = \angle ARQ$ olduğu için $\angle Q'RQ = \angle BRA = 150^\circ$ ve $RQ'=RQ$.
$\angle RBP + \angle RAQ + \angle QCP = 360^\circ$ ve $\angle RBQ'=\angle RAQ$ olduğu için $\angle Q'BP = \angle PCQ$.
$BP=a$ ve $AQ=b$ dersek, $\triangle BPC$ ve $\triangle ACQ$ de Sinüs teoreminden $CP=a\sqrt 2$ ve $CQ=b\sqrt 2$ çıkar.
$\angle Q'BP = \angle PCQ$, $Q'B:BP = b:a$ ve $QC:CP=2b:2a$ olduğu için $\triangle Q'BP \sim \triangle QCP$ olur. $Q'P=c$ dersek, $QP=c\sqrt 2$ dir.
$\angle BPQ' = \angle APC$ olduğu için $\angle BPC = \angle Q'PQ = 105^\circ$. Ayrıca, $Q'P:PQ=c:c\sqrt 2$ ve $BP:PC=a:a\sqrt 2$ olduğu için $\triangle QPQ' \sim \triangle BPC$ olur. O halde, $\angle QQ'P = 45^\circ$ ve $\angle Q'QP = 30^\circ$.
$Q'RQP$ dörtgeninde, $Q'R=RQ$ ve $360^\circ - \angle Q'RQ = 210^\circ = 2 \cdot \angle Q'PQ$ olduğu için, $R$ merkezli, $RQ$ yarıçaplı çember, $Q'$, $P$ ve $Q$ noktalarından geçer. Bu durumda, $\angle PRQ = 2\cdot \angle QQ'P = 90^\circ$ ve $Q'R=RP=RQ$ dur.
4
$4444^{4444}$ sayısı onluk sistemde yazılırsa, rakamları toplamı $A$ dır. $A$ nın rakamları toplamı $B$ olsun. $B$ nin rakamları toplamını bulunuz. ($A$ ve $B$, onluk sistemde yazılmıştır.)
Çözüm 1:
$4444^{4444}<(10^{4})^{4444} = 10^{17776}$ olduğu için $A < 9 \cdot 17776 < 10 \cdot 17776 = 177760 < 179999$.
$A$ nın rakamları toplamı, $B$, en fazla $45$ olabilir (Örn. $A=99999$).
$B$ nin rakamları toplamı en fazla $12$ olabilir (Örn. $B=39$).
$4444^{4444} \equiv 16^{4444} \equiv 4^{8888} \equiv (4^3)^{2962} \cdot 4^2 \equiv 16 \equiv 7 \pmod 9$ olduğu için $B \equiv 7 \pmod 9$ olmalı. O halde $B = 7$ dir.
Çözüm 2:
$s(n)$ fonksiyonunu $n$'nin rakamları toplamı olarak tanımlarsak, bizden $n=4444^{4444}$ için $S=s(s(s(n)))$ değeri istenmektedir. Öncelikle $n\equiv s(n)\pmod{9}$ olduğundan $$S\equiv 4444^{4444}\equiv 2^{4444}\equiv \left(2^6\right)^{740}\cdot 2^4\equiv 16\equiv 7\pmod{9}$$ olacaktır. Ayrıca $n$ sayısı $a$ basamaklıysa $10^{a-1}\leq n<10^{a}$ ve $s(n)\leq 9a$ olacaktır. Yani $$s(n)\leq 9a\leq 9\left[\log_{10}(n)+1\right]$$ olacaktır. $n=4444^{4444}$ için $$s(n)\leq 9[4444\cdot \log_{10}(4444)+1]<9\cdot (4444\cdot 4+1)=159993$$ olur. Devam edersek, $$s(s(n))\leq 9\left[\log_{10}(s(n))+1\right]<9\log_{10}(159993)+9<9\cdot 6+9=63$$ olur. $s(s(n))$ en fazla $62$ olabileceğinden $S=s(s(s(n)))\leq 5+9=14$ olacaktır. $1\leq S\leq 14$ ve $S\equiv 7\pmod{9}$ şartlarını sağlayan tek $S$ değeri $7$'dir. Buradan $S=7$ bulunur.
5
Birim çember üzerinde, herhangi ikisinin arasındaki uzaklık bir rasyonel sayı olacak şekilde $1975$ nokta alınıp alınamayacağını, ispatlayarak, belirleyiniz.
6
Aşağıdaki özelliklere sahip tüm iki değişkenli $P$ polinomlarını bulunuz: