5.3^y=2^x+37 {çözüldü}

[Mathopia]

$x,y \in \mathbb N$ olmak üzere $5\cdot 3^y = 2^x+37$ denklemini sağlayan tüm $(x,y)$ ikililerini bulunuz.

[FEYZULLAH UÇAR]

x=3 için y=2 olur . (3,2) bu denklemi sağlar.
şimdi
x>3 için mod 8 de denklemi inceleyelim (doğal olarak y>2 olacaktır)
5.3^y=2^x+37=5.3^y=0+5=5 (Mod 8 )olur ...... ( *)
3=3 (mod8) , 3²=1 (mod8) olduğundan
y>2 için
y=2k  ise  3^y=1 ise 5.3^y=5.1=5 ( mod 8 ) olur. (*) dan dolayı çelişki olur y=2k için çözüm yoktur.
y=2k+1  ise 3^y=3 ise 5.3^y=5.3=15=7 (mod 8 )   olur. (*) dan dolayı çelişki olur y=2k+1 için de çözüm yoktur.
Bundan dolayı tek çözüm (3,2) olur.

[barbarosgür]

Değerli hocam affınıza sığınarak, y=2k durumunu anlayamadığımı belirteyim.

saygı ve sevgilerimle

[Lokman Gökçe]

haklısınız hocam,

Önce  x > 3 ve dolayısıyla y > 2 için mod 8 de denklemi inceliyoruz. (*) ifadesinde 5.3^y = 0 + 5 =5 (mod8) bulunuyor. Burada bir düzeltme yapmak gerekecek. isterseniz siz çözümü tamamladıysanız gönderin. ya da yarın tekrar inceleriz. hayırlı geceler ...

[barbarosgür]

epey zaman ayırdım ama o kısma bir çözüm getiremedim,..
ilginiz için çok teşekkür ederim.

saygı ve sevgilerimle

[MATSEVER 27]

$x=0,1$ için çözüm yoktur. $y \ge 3$ için $2^x \equiv 10 \pmod{27}$ ve $x=6r$ idir. Ancak $\pmod{3}$ için $5.3^x \equiv 2 \pmod{3}$ olur. Çelişki. $y \le 2$ idir. $y=2,x=3$ içinse eşitlik sağlanır.