Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$a,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere, $a+b=30$ ve $ab=225+c^2$ eşitliklerini sağlayan kaç $(a,b,c)$ üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[yusufipek]

Yanıt: $\boxed{B}$

Birinci eşitlikten $b=30-a$ olur. Bu ifade ikinci eşitlikte yazılırsa, $a(30-a)=225+c^2$ olup düzenlenirse, $a^2-30a+225+c^2=0⇒(a-15)^2+c^2=0$ olur. Buradan ise, $a=15$, $c=0$ ve $b=15$ bulunur. Yalnız bir tane $(a,b,c)$ üçlüsü vardır.

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{B}$

$ab=225+c^2\gt 0$ olduğundan $a.b\gt 0$ olmalıdır. Aynı zamanda $a+b=30\gt 0$ olması $a$ ve $b$ sayılarının pozitif olmasını gerektirir; dolayısıyla $AO-GO$ eşitsizliğini kullanabiliriz:
$$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$ $$15\ge\sqrt{225+c^2}$$ olduğundan $c$=0 olur. Bu durumda $AO=GO$ yani $a=b=15$ bulunur.

Buna göre verilen eşitlikleri sağlayan tek bir üçlü olup $(a,b,c)=(15,15,0)$ dır.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=-4c^2$ olduğu için $c=0$ ve $a=b=15$ olmalıdır, yani bu denklem sisteminin tek çözümü vardır.