2008 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 3

[geo]

$a b c>a^2+b^2+c^2$ eşitsizliğini sağlayan tüm $a, b, c$ reel sayıları için $$
a b c>a+b+c+18
$$ olduğunu gösterin.

[Metin Can Aydemir]

Verilen eşitsizliğe Karesel-Aritmetik ortalama eşitsizliği uygularsak, $$abc>a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$ elde edilir. $a+b+c=A$ dersek, $3abc>A^2$ olur. İspatlamak istediğimiz eşitsizlik ise $abc>A+18$ olduğudur. Aksini varsayalım ve $A+18\geq abc$ olacak şekilde $a,b,c$ gerçel sayıları olsun. Bu durumda $$3A+54\geq 3abc>A^2\implies 0>A^2-3A-54=(A+6)(A-9)\implies -6<A<9$$ elde edilir. Ayrıca, $abc>0$ olduğunu not alırsak, Aritmetik-Geometrik ortalamadan, $$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\implies (a^2+b^2+c^2)^3\geq 27a^2b^2c^2$$ $$a^3b^3c^3>(a+b+c)^3\geq 27a^2b^2c^2\implies abc>27$$ olur. Ancak kabul gereği $$A+18\geq abc>27\implies A>9$$ çelişkisi elde edilir. Kabulumuz yanlıştır. $abc>a^2+b^2+c^2$ olan her $a,b,c$ için $$abc>a+b+c+18$$ olur.