Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2015 #A.1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reel dizi ($n\geq 2$) olmak üzere


$$a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-\lambda)}$$

bu dizi her $k$ pozitif tamsayısı için yukarıdaki eşitsizliği sağlıyorsa
$$a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n+\left(\lambda -1\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}\right)$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda=1$$
verildiğinde problem IMO Shortlist 2015 #A.1'e dönüşür

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İspata başlamadan $k\leq n$ için $s_k=a_1+a_2+\cdots+a_k$ olsun. O zaman bizden göstermemiz istenen $s_n\geq n+\left(\lambda -1\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}\right)$ eşitsizliğidir. Problemde verilen eşitlikten ilerleyelim
$$a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-\lambda)}\Rightarrow a_k+\dfrac{k-\lambda}{a_k}\geq \dfrac{k}{a_{k+1}}$$
Burada teleskobik bir toplam elde ettik
$$a_1+\dfrac{1-\lambda}{a_1}\geq \dfrac{1}{a_{2}}$$
$$a_2+\dfrac{2-\lambda}{a_2}\geq \dfrac{2}{a_{3}}$$
$$a_3+\dfrac{3-\lambda}{a_3}\geq \dfrac{3}{a_{4}}$$
$$\vdots$$
$$a_{k-1}+\dfrac{k-1-\lambda}{a_{k-1}}\geq \dfrac{k-1}{a_{k}}$$
$$a_k+\dfrac{k-\lambda}{a_k}\geq \dfrac{k}{a_{k+1}}$$
Bundan ötürü
$$a_1+a_2+\cdots+a_k=s_k\geq \left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_k}\right)+\dfrac{k}{a_{k+1}}$$
Biraz düzenlersek
$$a_{k+1}\geq \dfrac{k}{s_k-\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_k}\right)}$$
Şimdi göstermek istediğimiz $s_n\geq n+\left(\lambda -1\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}\right)$ eşitsizliğiydi. Tümevarım kulanacağız: $n=2$ ise
$$s_2=a_1+a_2\geq a_1+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1-\lambda}{a_1}}\geq 2-\dfrac{1-\lambda}{a_1}$$
Eğer $-\dfrac{1-\lambda}{a_1}$ ifadesini sola atarsak Aritmetik-Geometrik Ortalama'dan açık bir eşitsizlik haline gelir. $n=2$ durumu çalışıyorsa (çalışıyor), $n=3,4,\cdots$ için de çalıştığını gösterelim. İddiamız
$$s_{n+1}=s_n+a_{n+1}=s_n+\dfrac{n}{s_n-\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)}\overbrace{\geq}^{?} n+1+\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)$$
olduğudur. Son ifadeyi düzenlersek
$$n+\dfrac{n}{s_n-\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)}\overbrace{\geq}^{?} n+1+\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)$$
$$\Rightarrow s_n-\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)-1\geq n\left(1-\dfrac{1}{s_n+\left(1-\lambda\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)}\right)$$
Sağ tarafın paydası sol tarafın çarpanı olduğundan
$$1\geq \dfrac{n}{s_n-\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)}\Rightarrow s_n\geq n+\left(\lambda-1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)$$
Bundan dolayı $s_n$ koşulu sağlıyorsa $s_{n+1}$ de sağlar. $n\geq 2$ olduğundan $n=2$ durumunda eşitsizlik çalıştığından ispat biter.