ELMO Shortlist 2019 #A.1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ ise


$$a^abc+b^bca+c^cab\geq 27ab+27bc+27ca$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \Rightarrow ab+bc+ca=abc$$
Aynı zamanda da $1=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a}}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}$ olduğundan $abc\geq 27$ elde edilir.
Bundan dolayı
$$a^abc+b^bca+c^cab\geq 27ab+27bc+27ca=27abc$$
Her iki tarafı da $abc$ ye bölelim
$$\dfrac{a^a}{a}+\dfrac{b^b}{b}+\dfrac{c^c}{c}\geq 27$$
Üstteki ifade için Ağırlaştırılmış Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanalım (Cebir Teorem ve İspatlar kısmına ekleyeceğim)
$$\dfrac{\dfrac{1}{a}a^a+\dfrac{1}{b}b^b+\dfrac{1}{c}c^c}{1}\geq \left [\left(a^a\right)^{\dfrac{1}{a}}\left(b^b\right)^{\dfrac{1}{b}}\left(c^c\right){\dfrac{1}{c}}\right ]^{\dfrac{1}{1}}=abc\geq 27$$
En son her iki tarafı da $abc$ ile çarparak
$$a^abc+b^bca+c^cab\geq 27abc=27\left(ab+bc+ca\right)$$
elde edilir.